1、用公式法求和【例1】已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q是常数)，且x1，x4，x5成等差数列(1)求p，q的值；(2)求数列xn的前n项和Sn.【解析】(1)因为x13，xn2npnq，所以x424p4q16p4q，x525p5q32p5q.因为x1，x4，x5成等差数列，所以2x4x1x5，即32p8q32p5q3，所以q1.又x12pq3，所以p1.2312(2222)(123)2 12112212222nnnnnnxnSnn nn n 因为 ，所以 本题考查等差、等比数列的基本知识，主要考查运算能力和推理能力可以直接代入等差、等比数列前n项和公式求和的前提是由已
2、知条件求得首项和公差或公比，因此，要求不仅要牢记公式，还要计算准确无误第(2)问如果先写出x13，x26，x311，x420，再来找规律较难，用拆项分组求和则要好得多【变式练习1】在等比数列an中，a2a518，a3a432，并且an1an(nN*)(1)求a2、a5以及数列an的通项公式；(2)设Tnlga1lga2lga3lgan，求当Tn最大时，n的值 3425255225251114116*18321623216.122132()122()nnnnaaaaaaaaaaaaaqaaqaqqaanN因为，所以由已知条件可得，并且，解得，从而其首项 和公比满足：故数列的通项公【式为 解析】6
3、*22lglg2(6)lg2()lg5lg24lg23lg2(6)lg25432(6)lg2561lg2(11)lg2.221 lg2011.2256nnnnnnannaTnnnnnnnnTTn N因为，数列是等差数列，所以 由于，当且仅当最大时，最大，所以，当最大时，或裂项相消法求和 212231.1112()212nnnnnnanSSnana aa aaa已知数列的前 项和为，求证：数列为等差数列；求和：【例】【解析】(1)证明：当n1时，a11；当n2时，anSnSn12n1.显然a11满足an2n1，所以an1an2，所以数列an为等差数列 1122311123 21111()(2)2
4、 23211111 111 11111()()()2 1322352 23211.21nnnnaannnnna aa aaannnn 因为，所以本题主要考查(1)Sn与an的递推关系；(2)裂项求和法 1122123164642111132.4nnnnnnnaanSbbb SbaabSSS等差数列各项均为正整数，其前项和为，等比数列中，且，数列是公比为的等比数列求 与；证明：【变式练习】13613(1)2 213(1).642.*(6)64(6)6461,2,3,6*28.32(1)2118.nnnnnnddnndnnnnad bqdandbqbaqqbaqs bd qd qqddqannb设
5、的公差为，的公比为，则 为正整数，依题意有 由 知 为正有理数，故 为 的因子之一，解得 ，故 ，【解析】1235(21)(2)1111111+1 3243 5211111111(1)232435211113(1+).221224nnSnn nSSSn nnnnn 证明：因为 ，所以 错位相减法求和【例3】求S12x3x24x3(n1)xn的值 23231231111201121123(1)2011234(1)23(1).(1)1(1)1(1)111123nnnnnnnnxSnnxSnxxSxxxnxxSxxxn xnxx SxxxxnxxnxxxSx 当 时，；当 时，；当且时，因为 ，所以
6、 由得 ，所以【解析】111nnxx 通过观察，本题有如下特征：系数成等差数列、字母成等比数列，即它是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列，具备用错位相减法的条件；同时本题也有陷阱：并没有确定x是否为0或1，故容易贸然地用错位相减法求解，而需先分类讨论在求解过程中还要注意，在等比数列求和时，项数也容易搞错【变式练习3】设an为等比数列，Tnna1(n1)a22an1an，已知T11，T24.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列Tn的通项公式 1122112122123123112222.(1 2(2)22 2222(1)2(2)22 22.(2222)2 122(2)1212n
7、nnnnnnnnnnnnaqaTaTaaqaaTnnnTnnnTnnn 设等比数列的公比为，所【以 ，所以 因为 ，所以 由得 解析】分组分解法求和 23.21()22().4nnnnnnnnnnnanSaa nccncnT已知数列的前 项和 求数列的通项公式；是奇数若数列满足，是偶数求数列的前 项和【例】2221*1124113323(1)3(1)221(2)21()1()(222)14 142246(1)1412nnnnnnnnnnSnnnnaSSnnnaSannnnTaaann NN因为，所以 ，又 适合上式，所以 当 为奇数时，为偶数，】【解析1212413122111111422(1
8、)22(21)223434(21).43()(222)4 14(24)1414242 222(21)(21)22343nnnnnnnnnnnnnnTaaann nnnn 当 为偶数时，分组分解法是通过对数列通项结构的分析研究，将数列分解为若干个能够求和的新数列的和或差，从而求得原数列和的一种求和方法如本题将数列分成奇数项的和与偶数项的和，分别应用等差数列和等比数列的求和公式求解【变式练习4】求值：Sn1234(1)n1n.(12)(34)(1)21(23)(45)(1)11122()21()2nnnnnSnnnSnnnnn nSn当 为偶数时，；当 为奇数时，为偶数所以 为奇数【解析】2122
9、21.21_nnnnanSaaa数列的前 项和 ，则1(41)3n 111212221221212224.11444(41)3nnnnnnnnnnnnnSaSSaaaa因为 ，所以 ，所以 所【以 】解析 12.110nnaannnn数列的通项公式为，若其前 项的和为，则 的值为_12012111(2 1)(32)(1)1 110120.nnnannnnSaaannnn因为，所以 ，所以【解析】3.1(12)(1222)(12222n1)_2n1n2 21211222122112(222)2 1222.12nnnnnnnnaSnnn 因为 ，所以 【解析】4.求值：10029929829722
10、212_5050 222222(10099)(9897)(21)1009998972110010015050.2 原式【解析】1101030201015.22(21)0.12.nnnnnaanSSSSanSnT 设正项等比数列的首项 ，前项和为，且求数列的通项公式；求的前 项和 10302020101010201020101010201012()2().002111.().22112211(1)122112.12212nnnnnnnnnSSSSqSSSSaSSqqaaaqnSnSn由已知得，即因为 ，所以，所以，所以 从而 因为是首项 ，公比 的等比数列，故，【解析】2231211112(12
11、)(),2221121(12)()2222221111(12)()22222211112214212112.222nnnnnnnnnnnnnnnSnnTnTnnnTnnn nnn nnT 则数列的前 项和 前两式相减，得 即 本节内容是在等差数列、等比数列等特殊数列求和的基础上，将两个(或几个)数列复合而成的数列求和，主要从四个方面考查，一是直接用等差、等比数列求和公式来求；二是拆分成等差、等比数列或其他特殊数列来求；三是倒序相加来求；四是两边乘以同一个数后，用错位相减法来求要求在熟记特殊数列求和公式的基础上，观察数列的特征，选择恰当的方法，有时还会要求分类讨论1一个等差数列与一个等比数列对应
12、项相乘构成的数列一般用错位相减法求和其做法是：在等式两边同乘以等比数列的公比，然后两式相减，右边中间的(n1)项变成等比数列，很容易求和，同时注意第一个式子的首项和第二个式子的末项的符号，最后将左边的系数除到右边即可2在求Sx2x23x34x4(n1)xn1这类问题时要注意：(1)对x分类讨论；(2)项数是多少3裂项相消法求和是先将通项(最后一项)分裂成两项(或多项)的差，通过相加过程中，中间的项相互抵消，最后剩下有限项求和4倒序相加求和法的依据是推导等差数列前n项和的方法，即与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(即a1ana2an1)，可采用把正着写的式子与倒过来写的两个式子相加，
13、就得到一个常数列的和 5()(21)()(2)nnnnnababf n nkag n nk分组求和法：有一类数列，本身既不是等差数列，又不是等比数列，但若适当拆分，可以分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，再合并形如：，其中是等差数列，是等比数列；211122011()312_1.nnnnnnnaaak kaaakaaaa若数列满足为常数，则称数列为等比和数列，称为公比和已知数列是以 为公比和的等比和数列，其中，则苏(2010 州市高考信息卷)【解析】根据所给新定义，得数列an：1,2,2,22,22,23,23，归纳得a201121005.答案：21005选题感悟：本题是数列创新题，
14、应用新定义解决新问题，是数列部分的常见题型，能够有效地考查学生的学习潜能 1222212(1cos)sin2220_2_ _nnnaannaaa已知数列满足 ，则该数列的前项的和为盐(2010 城三模)2220131924201012.20()()1092 1210 112101.212nnnnnnaanaaaSaaaaaa 当 为奇数时，；当 为偶数时，即数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，所以该数列的前项的和 【解析】答案：2101选题感悟：本题关键是发现数列中奇数项与偶数项的规律，再利用分组求和的方法，将问题转化为特殊数列，利用公式求和3(2010扬州期中卷)设等差数列an的前n项
15、和为Sn，a25，S535.设数列bn满足anlog2bn.(1)求数列bn的前n项和Tn；(2)设Gna1b1a2b2anbn，求Gn.1112122312113521551035321.2log22242848 148222(41)1431nnnnnnnnnnnnnnnadadaandabbabbbbqT 由题意得，解得，所以 由，得，所以，所以数列是等比数列，其中 ，所以 【】解析 352157212335721236822231233 25 2(21)243 25 2(21)2(21)2.33 2(2 22 22 2)(21 2324(222)(21)264 1424(21)21488824nnnnnnnnnnnnnGnGnnGnGnnn 因为，所以两式相减得，即4488 48.39nnnnG 所以选题感悟：本题主要考查数列的求和的常用方法对于给条件的基本数列的求和问题，关键在于求出首项和公差或公比后，代入公式直接求解即可
