1、第一次月考数学理试题【天津版】一、选择题：1已知是实数，是纯虚数，则等于A.；B. ；C. ；D. 2已知的展开式中的系数为,则 AB CD3若实数满足 且的最小值为，则实数的值为A. ；B；C.；D. 4执行如图所示的程序框图，输出的值是A3 B6 C10D155如图所示,圆的直径，为圆周上一点，,过点作圆的切线，过点作的垂线，垂足为,则A. B. C. D. 6已知，则使成立的一个充分不必要条件是A B C D 7已知实数，的等差中项为，设，则的最小值为A3 B4 C5D68对于函数，若，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是A
2、 B C D 二、选择题：9已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有 辆.80时速（km/h）001002003004组距4050607080频率O3336正视图侧视图俯视图 10如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 1811在各项均为正数的等比数列中，若，则= 12已知平面上的三个向量，满足，则的最大值是 313在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 1214设函数若，则函数 的零点个数有 个.4三、解答题：15已知函数，其中，.（）求函数的最大值和最小正周期；（）设的内角的对边分别是，且，若，
3、求的面积。解：（I）2分=4分的最大值为0；最小正周期为.6分（），又，解得8分 又，由正弦定理-，9分由余弦定理，即-10分由解得：，.12分16盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用.（）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率；（）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望.（）解：记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，则. 2分所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率. 5分（）解：随机变量的所有取值为. 7分； ；. 10分所以，随机变量的分布列为:11分.
4、13分16已知数列中，前项的和是满足：都有：其中数列是公差为1的等差数列；（）求数列的通项公式；（）设，求 .都有：，令得：从而 ，又因为数列是公差为1，所以，得：，当时， 检验：时，不满足题设；故通项公式是：（）当时,，当时,，所以，符合，故.18在四棱锥中，底面是直角梯形，平面平面.（）求证：平面； （）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；（）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （）证明：因为 ，所以 . 1分因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 3分（）解：取的中点，连接.因为， 所以 .因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 4分如图，以为
5、原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系不妨设.由直角梯形中可得，.所以 ，.设平面的法向量.因为 所以 即令，则.所以 . 7分取平面的一个法向量n.所以 .所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小为. 9分（）解：在棱上存在点使得平面，此时. 理由如下： 10分取的中点，连接，.则 ，.因为 ，所以 .因为 ，所以 四边形是平行四边形.所以 .因为 ，所以 平面平面. 13分因为 平面，所以 平面. 14分19（本小题满分14分）已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）求证：对于一切正整数，都
6、有解：（1）当时，其定义域为1分因为，所以在上是增函数3分故当时，；当时，；当时，4分（2）当时，其定义域为，令得，6分因为当或时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，在上递增且的极大值为，极小值为7分又当时，；当时，因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅有一个交点。所以或9分（3）方法一：根据（1）的结论知当时，即当时，即12分令，则有从而得， 13分故得即所以14分20已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“衍生数列”.（）若数列的“衍生数列”是，求；（）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；（）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，.依次将数列，的第项取出
7、，构成数列.证明：是等差数列.（）解：. 3分（）证法一：证明：由已知，.因此，猜想. 4分 当时，猜想成立； 假设时，.当时，故当时猜想也成立.由 、 可知，对于任意正整数，有. 7分设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知，其中.由于为偶数，所以，所以 ，其中.因此，数列即是数列. 9分证法二：因为 ， 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即，. 7分由于，根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”. 9分（）证法一：证明：设数列,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. 10分由（）中结论可知 ，所以，即成等差数列，所以是等差数列. 13分证法二：因为 ，所以 .所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. 10分对于数列及其“衍生数列”，因为 ， 由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即.设数列的“衍生数列”为，因为 ，所以 ， 即成等差数列. 同理可证，也成等差数列.即 是等差数列.所以 成等差数列. 13分 10
