1、一、选择题1.一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,则下图中不可能是截面的是().【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得A;当截面过正方体体对角线时得B;当截面不平行于任何侧面,也不过体对角线时得C;但是无论如何都不会截得D.【答案】D2.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OABC的面积为,则原梯形的面积为().A.2B.C.2D.4【解析】设OABC的上、下底边边长分别为a、b,高为h,则由斜二测画法可知,原梯形的上、下底边边长分别为a、b,高为2h.梯形OABC 的面积为(a+b)h=,原梯形的面积为(a+b)2h=4.【答案】D3.将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,
2、得到图2所示的几何体,则该几何体的侧(左)视图为().【解析】根据空间几何体的三视图的概念易知侧(左)视图AD1是实线,B1C是虚线,故选B.【答案】B4.在一个几何体的三视图中,正(主)视图和俯视图如图所示,则相应的侧(左)视图可以为().【解析】由几何体的正(主)视图和俯视图可知,该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥组成的组合体,故其侧(左)视图应为C选项.【答案】C5.下面有四个命题:底面是矩形的平行六面体是长方体;棱长相等的直四棱柱是正方体;有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;对角线相等的平行六面体是直平行六面体.以上四
3、个命题中,正确的个数是().A.1B.2C.3D.4【解析】命题不是真命题,因为底面是矩形,若侧棱不垂直于底面,这时四棱柱仍然是斜平行六面体.命题不是真命题,若底面是菱形,底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体.命题也不是真命题,因为有两条侧棱垂直于底面一边,这时两个相对的侧面是矩形,但是不能推出侧棱与底面垂直.命题是真命题,由对角线相等,可得出平行六面体的对角面是矩形,从而推得侧棱与底面垂直,这个平行六面体是直平行六面体.【答案】A6.如图是一个几何体的三视图,则它的表面积为().A.4B.C.5D.【解析】由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体,故表面积为412+31
4、2=.【答案】D7. 一个几何体的三视图形状都相同,大小都相等,那么这个几何体不可以是().A.球B.三棱锥C.圆柱D.正方体 【解析】球的三视图全是圆;如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形;正方体三视图都是正方形.可以排除ABD,故选C.【答案】C8.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为().A.12B.13C.14D.15【解析】设长方体的长、宽、高分别为a、b、c.则V长方体=abc,V三棱锥=abc=abc,V余=V长方体-V三棱锥=abc,V三棱锥V余=15.【答案】D9.已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿
5、对角线AC把ACD折起,则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于().A.8B.16C.48D.不确定的实数【解析】设矩形的两邻边长分别为a,b,则ab=8,此时2a+2b4=8,当且仅当a=b=2时等号成立.此时四边形ABCD为正方形,其中心到四个顶点的距离相等,均为2,无论怎样折叠,其四个顶点都在一个半径为2的球面上,故这个球的表面积是422=16.【答案】B10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为().A.6B.9C.12 D.18【解析】由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3,所以几何体的体积为V=633=9,选B.【答案】B1
6、1.一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的表面积为().A.(48+8) cm2B.(46+6) cm2C.46 cm2D.(40+4) cm2【解析】由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示.且AA=BB=CC=4 cm,正ABC和正ABC的高为2 cm,正ABC的边长为AB=4 cm,该三棱柱的表面积为(48+8) cm2.【答案】A12.如图所示,扇形的中心角为,其所在圆的半径为R,弦AB将扇形分成两个部分,这两部分各以AO为轴旋转一周,若ABO旋转得到的几何体体积为V1,弓形AB旋转得到的几何体积为V2,则V1V2的值为().A.11B.21C.12D.14【解析】AOB绕AO旋转
7、得到的几何体为圆锥,体积V1R3,整个扇形绕AO旋转得到的几何体为半球,体积V=R3,于是V2=V-V1=R3.【答案】A二、填空题13.一个高为2的圆柱,底面周长为2,则该圆柱的表面积为.【解析】底面圆的周长2r=2,所以圆柱的底面半径r=1,所以圆柱的侧面积为4.两个底面积和为2r2=2,所以圆柱的表面积为6.【答案】614.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于.【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为4的直四棱柱,几何体的体积是V=(2+5)44=56.【答案】5615.如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为.【解析】
8、由三视图可知,该几何体为一个四棱锥,将其放在正方体中如图,在该四棱锥V-ABCD中,最长的一条棱为VA=2.【答案】216.如图所示,已知一个多面体的平面展开图是一个由边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是.【解析】折起后为正四棱锥,如图.由题意得S底=1,PO=,V=1=.【答案】三、解答题17.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392,母线与轴的夹角为45,求这个圆台的高、母线长和底面半径.【解析】作出圆台的轴截面如图,设OA=r.一底面周长是另一底面周长的3倍,OA=3r,SA=r,SA=3r,OO=2r.由轴截面的面积为(2r+6r)2
9、r=392,得r=7.故上底面半径为7,下底面半径为21,高为14,母线长为14.18.有一根长为5 cm,底面半径为0.5 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,求铁丝的最短长度为多少?【解析】圆柱形铁管展开图为矩形,长为,宽为5,将宽4等分,在矩形内画4条平行线段,使平行线段的端点与4等分点重合,则铁丝的最短长度为4=cm.19.如图是一个几何体的正(主)视图和俯视图.(1)试判断该几何体是什么几何体;(2)画出其侧(左)视图,并求该平面图形的面积;(3)求出该几何体的体积.【解析】(1)正六棱锥.(2)其侧(左)视图如图:其中AB=AC
10、,ADBC,且BC的长是俯视图中正六边形对边的距离,即BC=a,AD的长是正六棱锥的高,即AD=a,该平面图形的面积S=aa=a2.(3)V=6a2a=a3.20.有一块扇形铁皮OAB,AOB=60,OA=72,要剪下一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).试求:(1)AD应取多长?(2)容器的容积.【解析】(1)如图,设圆台上、下底面半径分别为r、R,AD=x,则OD=72-x.由题意得R=12,r=6,x=36,AD=36.(2)圆台的高为h=6,V=h(R2+Rr+r2)=6(122+126+62)=504.
11、21.已知三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱都相等,正(主)视图、侧(左)视图和俯视图如图所示.(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求侧(左)视图的面积.【解析】(1)三棱锥的直观图如图所示.(2)根据三视图间的关系可得BC=2,侧(左)视图中VA=2,SVBC=22=6.22.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).(1)当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米);(2)若要制作一个如图放置的底面半径为0.3米的灯笼,请作出于制作灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素).【解析】(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为=1.2-2r,塑料片面积S=r2+2r(1.2-2r)=r2+2.4r-4r2=-3r2+2.4r=-3(r2-0.8r),当r=0.4米时,S有最大值,约为1.51平方米.(2)若灯笼底面半径为0.3米,则高为1.2-20.3=0.6(米).制作灯笼的三视图如图所示.
