1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.2.2双曲线的几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题(难点)1.通过双曲线几何性质的学习，培养学生的直观想象素养.2.借助双曲线的性质的简单应用，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质图形焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)焦距2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a
2、,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e(1，)渐近线yxyx思考1：能否用a，b表示双曲线的离心率？提示e.思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？提示有影响，因为e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大2等轴双曲线实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是yx，离心率e.1若0k0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解把方程nx2my2mn(m0，n0
3、)化为标准方程为1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e，顶点坐标为(，0)，(，0)，渐近线方程为yx，即yx.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解双曲线的方程化为标准形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a
4、6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yx.由双曲线的几何性质确定标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程思路探究解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，标准方程为1或1.(2)法一：当焦点在x轴上时，由且a3，b.所求双曲线方程为1.当焦点在y轴上时，由且a3，b2.所求双曲线方程为1.法二：设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)，当0时，a24，2a26，当0，b0).焦点在y轴上的
5、双曲线的标准方程可设为1(a0，b0).与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b2a2)，与双曲线1具有相同渐近线的双曲线方程可设为(0).渐近线为ykx的双曲线方程可设为k2x2y2(0).渐近线为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0).提醒：利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，a5，b2c2a2144，故其
6、标准方程为1.(2)双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.由联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.由联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.直线与双曲线的位置关系【例3】已知双曲线x2y24，直线l：ykx1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点解由得(1k2)x22kx50.(1)直线与双曲线有两个公共点，则式方程有两个不相等的根解得.(
7、2)直线与双曲线只有一个公共点，则式方程只有一解当1k20，即k1时，式方程只有一解；当1k20时，应满足4k220(1k2)0，解得k，故k的值为1或.(3)直线与双曲线没有公共点，则式方程无解解得k或k0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个；如图，0)与直线l：xy1相交于A，B两个不同的点求双曲线的离心率e的取值范围；设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值(2)已知过点P(1,1)的直线l与双曲线x21只有一个公共点，试探究直线l的斜率k的取值解(1)由得(1a2)x22a2x2a20，(*)由
8、题意得得0a且a1.又双曲线的离心率e，e且e.故e的取值范围为(，)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0,1)，(x1，y11)(x2，y21)，故x1x2.又x1，x2是方程(*)的两个根，x2，x.消去x2，得.又a0，a.(2)设直线l的斜率为k，则l：yk(x1)1，代入双曲线方程得 (4k2)x2(2k2k2)xk22k50.若4k20，即k2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4k20，则(2k2k2)24(4k2)(k22k5)0，解得k.综上可得，直线l的斜率k的取值为或2.与双曲线有关的综合问题探究问题1直线与双曲线的弦长问题，应如何解
9、答？提示设直线与双曲线相交所得弦AB端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则|AB|x1x2|.涉及弦长的问题，常常设而不求2直线与双曲线相交，直线斜率与弦中点有何关系？提示设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线1(a0，b0)上不同的两点，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得，即kAB.【例4】斜率为2的直线l在双曲线1上截得的弦长为，求l的方程思路探究设出直线方程，与双曲线联立消元后利用弦长公式求解解设直线l的方程为y2xb，与1联立，消y得10x212bx3b260.设直线l与双曲线0的交点为A(x1，y1)，B
10、(x2，y2)由根与系数的关系得|AB|解得b.直线l的方程为y2x.1(变换条件)求斜率为2的直线l与双曲线1相交时，其弦中点的轨迹方程解设直线l与双曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x0，y0)，则x0，y0，则两式相减得.即.所以弦中点的轨迹方程为x3y0.2(变换条件)若直线l与本例中的双曲线相交，求以点P(3,1)为中点的直线l的方程解设直线l与双曲线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，y1y22，由两式相减得，直线l的斜率k2，直线l的方程为y12(x3)，即2xy50.(1)求弦长的两种方法距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直
11、接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长.弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：ykxb(k0)与双曲线C：1(a0，b0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x1x2|y1y2|.(2)中点弦问题,与弦中点有关的问题主要用点差法、根与系数的关系解决.另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决.提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况.1思考辨析(1)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0()(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于()(3)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的
12、离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).()提示(1)(2)(3)2已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在该双曲线上，则()A12B2C0D4C 由题意得b22，F1(2,0)，F2(2,0)，又点P(，y0)在双曲线上，y1，(2，y0)(2，y0)1y0，故选C.3双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为()A BCDB设双曲线方程为1(a0，b0)MF1F2为等腰三角形，F1MF2120，MF1F230，tan 30，1，e.4与双曲线x21有共同的渐近线，且过点(2
13、,2)的双曲线的标准方程是_1依题意设双曲线的方程为x2(0)，将点(2,2)代入求得3，所以所求双曲线的标准方程为1.5过双曲线1(a0，b0)的右焦点F(2，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P，且6，求双曲线的方程解法一：设双曲线的一条渐近线方程为yx，则过F且与其垂直的直线方程为y(x2)由可得点P的坐标为.，(2，0)6.解得a22，b2c2a2(2)226，双曲线方程为1.法二：设双曲线的一条渐近线方程为yx，点P在双曲线的渐近线上，故设其坐标为，(2，0)由6得2(x2)6，即x.又由0，得x(x2)0，代入x，得3.而a2b2(2)28，a22，b26.双曲线方程为1.- 15 - 版权所有高考资源网
