1、4.4 数系的扩充与复数的引入 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 4.4 数系的扩充与复数的引入双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1复数的有关概念内容 意义 备注 复数的概念 形如_的数叫复数，其中实部为_，虚部为_ 若_，则abi为实数，若_，则abi为纯虚数 复数相等 abicdi_(a、b、c、dR)共轭复数 abi与cdi共轭 _ 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，x轴叫_，y轴叫_ 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数的模 向量的模r叫作复数zabi的模|z|abi|_ abi(a，bR)abb0a0且b0ac且bdacd
2、b(a，b，c，dR)实轴虚轴a2b2OZ思考感悟任意两个复数都能比较大小吗？提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小2复数的几何意义复数 zabi 与复平面内的点_与平面向量OZ(a，bR)是一一对应的关系Z(a，b)3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_减法：z1z2(abi)(cdi)_乘法：z1z2(abi)(cdi)_(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i除法：z1z2abicdiabicdicdicdi_(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换
3、律、结合律，即对任何 z1、z2、z3C，都有 z1z2_，(z1z2)z3_acbdc2d2 bcadc2d2 iz2z1z1(z2z3)(3)乘法的运算律z1z2_(交换律)，(z1z2)z3_(结合律)，z1(z2z3)_(乘法对加法的分配律)(4)正整数指数幂的运算律zmzn_，(zm)n_，(z1z2)n_(m，nN)z2z1z1(z2z3)z1z2z1z3zmnzmnz1nz2n1(2010年高考北京卷)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82iC24i D4i答案：C课前热身2i是虚数单位，i(1i)等于()
4、A1i B1iC1i D1i答案：D答案：A3(2010 年高考湖南卷)复数 21i等于()A1i B1iC1i D1i4(教材习题改编)已知z12i，z2abi(a，bR)，且z1z21，则z2的共轭复数对应的点位于第_象限答案：四5复数 2i2i3的虚部为_答案：45考点探究挑战高考 考点突破 复数的概念复数的概念在考试中常出现的类型有：(1)复数概念的辨析；(2)复数的有关分类；(3)复数相等条件的应用；(4)复数与复平面的对应关系对于具体题目可结合选项一一分析作答(1)(2009 年高考江苏卷)若复数 z1429i，z269i，其中 i 是虚数单位，则复数(z1z2)i 的实部为_(2
5、)(2009 年高考陕西卷)已知 z 是纯虚数，z21i是实数，那么 z 等于()A2i BiCi D2i例1(3)(2010 年高考陕西卷)复数 z i1i在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【思路点拨】正确理解复数的概念，即对于 zabi(a，bR)，其实部为 a，虚部为 b.(1)中首先对算式进行四则运算，化为最简形式，再确定其实部；(2)要根据 z 是纯虚数，设出 z，代入z21i，根据其为实数列方程解决；(3)要把 z 化为最简形式，再根据复数的几何意义求解【解析】(1)因为(z1z2)i(220i)i202i，所以可知复数(z1z2)i 的实部为20.
6、(2)设 zyi(yR，且 y0)，则yi21i 2yy2i2R，2y0，则 y2，z2i，故选 D.(3)因为 z i1ii1i1i1i1i111212i，所以其对应的点(12，12)位于第一象限，故选 A.【答案】(1)20(2)D(3)A【规律小结】(1)复数的分类：复数 abi(a，bR)实数b0虚数b0纯虚数a0非纯虚数a0(2)在复平面内，实数全部落在实轴即x轴上，纯虚数在除原点外的虚轴即y轴上，而其他复数均在四个象限内在第一象限a0，b0；第二象限a0；第三象限a0，b0，b0m23m20，解得 m1 或m2.(3)若 z 的对应点在第二象限，则lgm22m20.解得1m1 3或
7、 1 3m3.复数的加减、乘、法运算类似于多项式的加、减、乘法运算，而复数的除法是通过分母的实数化转化为复数的乘法运算复数的代数运算【思路点拨】运用复数的四则运算法则求解(1)(2010 年高考重庆卷)已知复数 z1i，则2zz_.(2)(2010 年高考广东卷)若复数 z11i，z23i，则z1z2()A42i B2iC22i D3i例2【答案】(1)2i(2)A【方法总结】复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，将结果写成abi的形式【解析】(1)2zz 21i(1i)21i1i1i(1i)(1i)(1i)2i.(2
8、)z1z2(1i)(3i)3i3ii242i.变式训练 2 计算：(1)1i2ii3；(2)12i231i2i；(3)1i1i2 1i1i2；(4)1 3i 3i2；(5)(1i2)2009(1i2)2009.解：(1)1i2ii33ii 13i.(2)12i231i2i34i33i2i i2ii2i51525i.(3)1i1i2 1i1i21i2i 1i2i1i21i21.(4)1 3i 3i2 3ii 3i2 i3ii 3i414 34 i.(5)(1i2)2009(1i2)20091 22009(1i)2008(1i)(1i)2008(1i)1 22009(2i)1004(1i)(2i)
9、1004(1i)12(1i)(1i)2.结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题方法更灵活复数运算的几何意义已知复数z满足|z|1，求|z(1i)|的最大值与最小值【思路点拨】|z|1复数z对应的点是以原点为圆心，1为半径的圆上的点所求即为圆上的点到点(1,1)的距离的最大值、最小值例3【解】法一：因为|z|1，所以 z 是单位圆 x2y21上的点，而|z(1i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离所以最大值为0120121 21，最小值为 0120121 21.法二：设 zxyi(x，yR)，则 x2y21，令 xcos，ys
10、in，则|z(1i)|x12y12 x2y22x2y232xy32cossin32 2sin4.|z(1i)|max32 2 21，|z(1i)|min32 2 21.【规律小结】(1)复数点与向量的对应关系；(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离(3)|z1z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离变式训练3 实数m取什么值时，复数z(m25m6)(m22m15)i(1)与复数212i相等；(2)与复数1216i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方；(4)对应的点在直线xy50上解：(1)根据复数相等的充要条件得m25m62，m22m1512.解之得 m1.(2)根据互
11、为共轭复数的定义得m25m612，m22m1516.解之得 m1.(3)根据复数 z 对应点在 x 轴上方可得m22m150，解之得 m3 或 m5.(4)复数 z 对应的点(m25m6，m22m15)在直线 xy50 上，即(m25m6)(m22m15)50，解得 m3 414或 m3 414.方法技巧1对于复数zabi(a，bR)必须强调a，b均为实数，方可得出实部为a，虚部为b.(如例1)2复数zabi(a，bR)是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从
12、实部、虚部的角度分解成两部分去认识(如例3)方法感悟3复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，其转化的主要依据就是复数相等的充要条件基本思路是：设出复数的代数形式zabi(a，bR)，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量根据复数相等一般可解决如下问题：解复数方程；方程有解时系数的值；求轨迹方程问题(如例3)4复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(abi)2a22abib2(a，bR
13、)与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2(a，bR)与(ab)(ab)a2b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误(如例2)1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合失误防范4对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分5数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关
14、系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等3要记住一些常用的结果，如 i、12 32 i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度考情分析 考向瞭望把脉高考 复数是每年必考的知识点之一，考查重点是复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数代数形式的运算每套高考试卷都有一道小题，并且一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数加减、乘除四则运算预测2012年高考仍将以复数的基本概念以及复数代数运算为主要考点，重点考查运算能力及转化与化归思想真题透析(2010 年 高 考 课 标 全 国 卷)已 知 复 数 z 3i1 3i2，z 是 z 的共轭复数，则 zz()A.14
15、 B.12C1 D2例【解析】z3i1 3i23i22 3i3i21 3i 3i1 3i21 3i1 3i2 32i8 3i4，z 3i4，z z|z|214，故选 A.【答案】A【名师点评】(1)本题易失误的是：对复数的除法，乘方法则掌握不清，不会运算，导致求错z；不知道是什么符号，导致无从下手；没有审清题意，化简完，发现没有选项，再重新算起费工费时(2)在复数的除法运算中，共轭复数是一个重要的概念，通过它能将分母中的虚数单位 i 化去，因(abi)(abi)a2b2(a，bR)，所以复数 zabi 的共轭复数为 zabi，这与实数中的互为有理化因数类似，所以在复数的四则运算中，可类比二次根
16、式的运算，从而更好地掌握共轭复数名师预测1复数12i1i 的虚部是()A2i B.12C.12i D.32解析：选 B.12i1i 12i1i1i1i 3i2 3212i，故选 B.2复数 5i2在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：选 C.因为 5i22i，所以复数 5i2在复平面内对应的点位于第三象限3若复数(1ai)2(i为虚数单位，aR)是纯虚数，则复数1ai的模是_解析：因为(1ai)21a22ai 是纯虚数，所以 1a20，a21，复数 1ai 的模为1a2 2.答案：24复数z052i(i为虚数单位)，复数z满足zz05zz0，则z_.解析：由题知 z z0z0552i2i 152i.答案：152i
