1、基础诊断考点突破第6讲 几何概型基础诊断考点突破最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义基础诊断考点突破知 识 梳 理1几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M，若点 M 落在子区域 G1 G 的概率与 G1 的面积成正比，而与 G 的形状、位置无关，即 P(点 M 落在 G1)G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型基础诊断考点突破2几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有；(2)等可能性：每个结果的发生具有3几何概型的概率公式P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.无限多
2、个等可能性基础诊断考点突破诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(2)从区间1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 110.()(3)概率为 0 的事件一定是不可能事件()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破2(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()基础诊断考点突破解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为 P(A)38，P(B
3、)28，P(C)26，P(D)13，所以 P(A)P(C)P(D)P(B)答案 A基础诊断考点突破3.(2016全国卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.310解析 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40154058.答案 B基础诊断考点突破4已知球 O 内切于棱长为 2 的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为_解析 由题意知球的半径为 1，其体积为 V 球43，正方体的体积为 V 正方体238，则这一点不在球内的概率 P14
4、38 16.答案 16基础诊断考点突破5(2017南昌质检)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_基础诊断考点突破解析 由题意知，S阴S正 1801 0000.18.S 正1，S 阴0.18.答案 0.18基础诊断考点突破考点一 与长度(角度)有关的几何概型 【例 1】(1)(2016全国卷)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是()A.13 B.12 C.23 D.34基础诊断考点突破(2)如
5、图，四边形 ABCD 为矩形，AB 3，BC1，以 A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在DAB 内任作射线 AP，则射线 AP与线段 BC 有公共点的概率为_基础诊断考点突破 解析(1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 上，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 上时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型得所求概率 P10104012.基础诊断考点突破(2)因为在DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为“DAB 内作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在CAB
6、 内，区域 H为CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为CABDAB309013.答案(1)B(2)13基础诊断考点突破规律方法(1)解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置(2)第(2)题易出现“以线段 BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求 P12.当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比基础诊断考点突破【训练 1】(1)(2017西安质检)
7、设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连接，则弦长超过半径的 2倍的概率是()A.34 B.12 C.13 D.35(2)(2015重庆卷)在区间0,5上随机地选择一个数 p，则方程 x22px3p20 有两个负根的概率为_基础诊断考点突破解析(1)如图，作等腰直角AOC 和AMC，B 为圆上任一点，则当点 B 在上运动时，弦长|AB|2R，P12.基础诊断考点突破(2)设方程 x22px3p20 的两个根分别为 x1，x2，由题意得，4p243p20，x1x22p0，x1x23p20，解得23p1 或 p2，结合 p0,5得 p23，1 2,5，故所求概率为123 52523
8、.答案(1)B(2)23基础诊断考点突破考点二 与面积有关的几何概型(多维探究)命题角度一 与随机模拟相关的几何概型【例 21】(2016全国卷)从区间0,1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为()A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn基础诊断考点突破解析 如图，数对(xi，yi)(i1,2，n)表示的点落在边长为 1 的正方形 OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于 1 的数对表示的点落在半径为 1 的四分之
9、一圆(阴影部分)内由几何概型的概率公式可得mn1412，故 4mn.答案 C基础诊断考点突破命题角度二 与线性规划的交汇问题【例 22】(2017石家庄调研)在满足不等式组xy10，xy30，y0的平面内随机取一点 M(x0，y0)，设事件 A“y02x0”，那么事件 A 发生的概率是()A.14 B.34 C.13 D.23基础诊断考点突破解析 作出不等式组xy10，xy30，y0的平面区域即ABC，其面积为 4，且事件 A“y02x0”表示的区域为AOC，其面积为 3，所以事件 A 发生的概率是34.答案 B基础诊断考点突破规律方法(1)与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的
10、事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合(2)解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解基础诊断考点突破【训练 2】(2015福建卷)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)x1，x0，12x1，x0的图像上若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16 B.14 C.38 D.12基础诊断考点突破解析 因为四边形 ABCD 为矩形，B(1,0)且点 C 和点 D 分别在直线yx1 和 y12x1 上，所以 C(1,2)，D(2
11、,2)，E(0,1)，则 A(2,0)因此 S 矩形 ABCD6，S 阴影121|CD|32.由几何概型，所求事件的概率 P32614.答案 B基础诊断考点突破考点三 与体积有关的几何概型【例 3】如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 MABCD 的体积小于16的概率为_基础诊断考点突破解析 过 M 作平面 RS平面 AC，则两平面间的距离是四棱锥 MABCD 的高，显然 M 在平面 RS 上任意位置时，四棱锥 MABCD的体积都相等若此时四棱锥 MABCD 的体积等于16，只要 M 在截面以下即可小于16，当 VMABCD16时，即1311
12、h16，解得 h12，即点 M 到底面 ABCD 的距离，所以所求概率 P111211112.答案 12基础诊断考点突破规律方法 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求基础诊断考点突破【训练3】一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是_基础诊断考点突破解析 依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积 V01843136(立方米)又空屋子的体积
13、 V54360(立方米)，三个捕蝇器捕捉到的空间体积 V3V02(立方米)故苍蝇被捕捉的概率是260 120.答案 120基础诊断考点突破思想方法1区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个2判断几何概型中的几何度量形式的方法：(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域基础诊断考点突破易错防范1易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的2准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关3几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
