1、初二数学圆易错点整理+高中数学中的易错题分类及解析初二数学圆易错点整理初二数学圆易错点整理易错点1：对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦之间的距离也要考虑两种情况。易错点2：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题。易错点3：对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法使用不熟练。易错点4：考查圆与圆的位置关系时，相切有内切和外切两种情况，包括相交也存在两圆圆心在公共弦同侧和异侧两种情况，学生很容易忽视其中的一种情况。易错点5：与圆有关的位置关系把握好 d 与 R和 R+r，R-r
2、之间的关系以及应用上述的方法求解。易错点6：圆周角定理是重点，同弧(等弧)所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，90 度的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。易错点7：几个公式一定要牢记：三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆的面积公式，圆周长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系。高中数学中的易错题分类及解析“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩。易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性.易错题的分类解析:分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，
3、每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析.本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集.下表是易错题分类表：一、易错题的典型特征解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关.1. 考生自我心理素质数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程.部分考生题意尚未明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍.2. 易
4、错点的隐蔽性数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成.数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强.3. 易错点形式多样性根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运
5、算失误、数学思维不严谨等.4. 易错题的可控性学生的认识结构有其个性特点.在知识总量大体相当的情况下，有的学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取.在学生形成了一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”.只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”,养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少.一 易错题的分类解析1. 数学概念的理解不
6、透数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对概念本质的不透彻，对其外延与内涵的掌握不准确，都会在解题中反映出来，导致解题出错.例1.若不等式ax+x+a0的解集为 ，则实数a的取值范围（ ）A.a-或a B.a C.-a D.a 【错解】选A.由题意，方程ax+x+a=0的根的判别式 a-或a，所以选A.【错因】对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握，忽视了开口方向对题目的影响.【正解】D .不等式ax+x+a0的解集为 ，若a=0,则不等式为x0且.例2. 命题“
7、若ABC有一内角为，则ABC的三内角成等差数列”的逆命题是（ ）A与原命题真值相异 B与原命题的否命题真值相异C与原命题的逆否命题的真值不同 D与原命题真值相同【错解】选A.因为原命题正确，其逆命题不正确.【错因分析】本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误：逆命题将原命题的题设和结论交换、否命题将原命题的题设和结论同时否定，逆否命题将原命题的题设和结论交换后再同时否定，原命题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题，互为逆否的命题是等价的.【正确解析】选D.显然，原命题正确；其逆命题为：“若ABC的三内角成等差数列，则ABC有一内角为”.也正确，所以选D.例3.判断函数f(x)=(x1)
8、的奇偶性为_【错解】偶函数.f(x)=，所以，所以f（x）为偶函数.【错因分析】上述解法有两个错误：1未考虑函数的定义域；2.x-10等及圆锥曲线有界性等.例14. 方程的解集为_-【错解】或所以x=1或x=2.所以解集为1，2.【错因分析】产生了增根x=1.实际上当时，0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.【错解】 (a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8.(a+)2+(b+)2的最小值是8.【错因分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成
9、立的.因此，8不是最小值.【正确解析】原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)+4= (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是.例24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 .【错解一】因为对a0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4.【错解二】，所以z的最小值是.【错因分析】解法一中，等号成立的条件是相矛盾；解法二中，等号成立的条件是，与相矛盾.【正解】z=，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有
10、最小值,所以当时z有最小值.（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性.例25(1)不等式|x+1|(2x1)0的解集为_(2)函数的定义域为 .解析：（1）【错解】.因为|x+1|0恒成立，所以原不等式转化为2x-10，所以【错因分析】忽略了当x=1时|x+1|=0原不等式也成立，即x=-1为不等式的解.【正确解析】.原不等式等价于|x+1|=0或2x-10，所以解集为.(2) 【错解】或.【错因分析】两个错误：一是解分式不等式（方程）时未考虑分母不能为0；二是解二次不等式时没有把二次项系数变
11、为正再考虑两根之外或两根之间，从而导致解集出错.【正解】例26.过点(0,1)作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（）A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条【错解】设直线的方程为，联立，得，即：，再由0,得k=1,得答案A.【错因分析】本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条.【正确解析】C.由上述分析，y轴本身即为一切线，满足题意；解方程时，若k=0，即直线y=1也与抛物线仅有一个公共点，又k=1时也合题意，所以有三条直线合题意，选C.（3）解题时忽视等价性变形导致出错例27. （1）已知f(x) =
12、 ax + ，若求的范围.（2）已知集合，且，求实数的取值范围.解析：（1）【错解】由条件得 由2 2得 +得 【错因分析】采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) = ax + ，其值是同时受制约的.当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.【正确解析】由题意有, 解得： 把和的范围代入得 （2）【错解】由题意，A： B：或(后面略)【错因分析】求集合B时，未考虑分式不等式中分母为零这一条件（若B中不等式为或形式而不是或则不需要考虑此问题）.【正确解析】由题意，A= B：或由则.例28.已知数列的前项和，求【错解】 【错因分析】 显然，当时，不满
13、足上述公式.没有注意公式成立的条件是n.【正确解析】当时，n时，.所以.例29.实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点.【错解】 将圆与抛物线 联立，消去，得 因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得 ， 解之得【错因分析】如下图（1）（2）.显然，当时，圆与抛物线有两个公共点.xyO图1xyO图2【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程有一正根、一负根时，得解之，得因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点.例30.(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.【错解】 ，.【错因分析】在错解中，由，时，应有.在等比数列中，是显然的，但公比q
14、完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形.【正确解析】若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意 ,即因为，所以所以解得 【点评】本题为1996年全国高考文科试题，不少考生的解法与错误解法相同，根据评分标准而痛失2分.（4）空间识图不准 数学运算能力包括空间想象能力.空间想象能力是指能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志而空间识图不准导致的立何几何题目出错情况很多
15、.例31直二面角的棱上有一点A，在平面、内各有一条射线AB，AC与成450，AB，则BAC= .【错解】如右图.由最小角定理，.【错因分析】错解中忽视了AC的另一位置OD，此时.【正确解析】或.如下图.当时，由最小角定理，；当AC在另一边DA位置时，. （5）推理方向的盲目性根据题的已知条件及所求的特征，有时直接从已知出发，运用公式、定理等得结论，这是综合法；有时需要从结论出发，分析它的必要条件，直到得到一个明显成立的命题，这是分析法.这是两种不同的推理方向，如果解题时失主理方向不正确，可能导致解题思路受阻或出错.例32. 设f ( x ) = x3x22x5，当时，f ( x ) .令，得f
16、(x)的增区间为，f(-1)=（区间左端点），(极小值点)，所以时所以m.【错因分析】推理方向的不正确，f ( x ) 7.由题意，f ( x ) 7.（6）限域求值端点取值不正确例33.若,则【错解】【正解】例34.已知,则的取值范围是 .【错解】.，所以.【错因分析】当时，根据正弦函数的图象，的范围应为而不是.【正确解析】.，所以.（7）说一套做一套，粗枝大叶，心里想的和手上写的不一致比如分数结果不约分或不化简、解集不用集合表示、将非常明确的限定条件遗漏（比如形式二次、对数真数为正等）、写错运算符号、写错数据，有时把关键字母写错等等.例35.设A、B是的两个内角，且是方程的两根，则A+B=_.分析：由韦达定理易知，又，故.部分学生非常遗憾地把结论写成了A+B的正切值1.数学是一门系统性、逻辑性很强的学科，其演算、推理有一定的规则，就连符号、图形都有一定的要求.如果平时缺乏严格训练，解题时丢三落四，书写不规范，只求三言两语，不求推理有据，更谈不上整齐、清洁、美观，高考丢分就在情理之中了. 所以，在第一轮复习过程中，要注意： （1）学生个人的错题的收集与整理（2）错题的原因分析（3）针对某个学生而言，反复出现的某种类型的错题，即可归为该学生的易错题（4）不同学生的易错题可能是不同的，要教会学生针对自己的易错题建立数学学习过程中的“警戒点”
