1、第二节 函数的单调性与最值【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)函数的单调性:增函数、减函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间DI,如果对于任意x1,x2D,且x1x2,则有:()f(x)在区间D上是增函数_;()f(x)在区间D上是减函数_.f(x1)f(x2)单调区间:若函数y=f(x)在区间D上是_或_,则称函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.增函数 减函数(2)函数的最值:前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件对于任意xI,都有 _ 存在x0I,使得f(x0)=M对于任意xI,都有 _ 存在x0I
2、,使得_结论M为最大值M为最小值f(x)M f(x)M f(x0)=M 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)函数单调性与图象、导数、运算及复合函数间的关系:区间D上的增函数区间D上的减函数图象函数图象_函数图象_导数导数_零导数_零运算增函数+增函数减函数+减函数复合函数内外层单调性_内外层单调性_上升 下降 大于 小于 相同 相反(2)对勾函数y=x+(a0)的增区间为(-,-和 ,+);减区间为-,0)和(0,且对勾函数为奇函数.(3)设x1,x2D(x1x2),则 0(或(x1-x2)f(x1)-f(x2)0)f(x)在D上单调递增;0(或(x1-x2)f(x1)-f(x2)B.k-D.
3、k-【解析】选D.使y=(2k+1)x+b在(-,+)上是减函数,则2k+10,即 k-.1212121212(2)(必修1P31例4改编)函数f(x)=在-6,-2上的最大值和最小 值分别是 .【解析】函数f(x)=在-6,-2上单调递减,最大值为f(-6)=最小值为f(-2)=答案:2x12x127，2.32273，(3)(必修1P39B组T1改编)f(x)=x2-2x,x-2,4的单调递增区间为 ,f(x)max=.【解析】因为函数f(x)=x2-2x的对称轴为x=1,所以函数f(x)=x2-2x(x-2,4)的单调递增区间为1,4,单调递减区间为-2,1).又f(-2)=4+4=8,f
4、(4)=16-8=8,所以f(x)max=8.答案:1,4 8 3.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014北京高考)在下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是()A.y=B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)【解析】选A.y=是(0,+)上的增函数;y=(x-1)2在(0,1)上是 减函数,在(1,+)上是增函数;y=2-x=在xR上是减函数;y=log0.5(x+1)在(-1,+)上是减函数.x1x1x1()2(2)(2015温州模拟)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是3,+),则a的值为()A.-2 B.2 C.-6 D.6【解析】选C.f(x
5、)=|2x+a|=因为函数f(x)的增区间是3,+),所以 =3,即a=-6.a2xa,x,2a2xa,x,2 a2(3)(2015中山模拟)对于任意实数a,b,定义mina,b=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=minf(x),g(x)的最 大值是 .a,ab,b,ab.【解析】依题意,h(x)=当02时,h(x)=3-x是减函数,所以h(x)=minf(x),g(x)在x=2时,取得最大值h(2)=1.答案:1 2log x,0 x2,x3,x2,考点1 确定函数的单调性(区间)【典例1】(1)(2014天津高考)函数f(x)=(x2-4)的单调递增 区间为(
6、)A.(0,+)B.(-,0)C.(2,+)D.(-,-2)(2)试讨论函数f(x)=,x(-1,1)的单调性(其中a0).12log2axx1【解题提示】(1)本题是对数函数与二次函数的复合函数,先求出函数的定义域,然后根据复合函数单调性的判定方法,确定函数的单调递增区间.(2)用定义法或导数法进行判断.【规范解答】(1)选D.函数f(x)=(x2-4)的定义域为(-,-2)(2,+),因为函数y=f(x)是由y=t与t=g(x)=x2-4复合而成,又y=t在(0,+)上单调递减,g(x)在(-,-2)上单调递减,所以函数 y=f(x)在(-,-2)上单调递增.12log12log12log
7、(2)设x1,x2(-1,1)且x1x2,则f(x1)-f(x2)=因为-1x1x20,x12-10,x22-10,-1x1x20,所以 122212axaxx1x121122212a xxx x1.x1x121122212xxx x10.x1x1因此当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,f(x)0;当a0.所以当a0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.2222222a x12axa x1.x1x1【互动探究】若本例题(2)中的函数变为“f
8、(x)=”,则f(x)在(-1,1)上的单调性如何?【解析】设-1x1x20时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1),得-1x0)在(0,+)上的单调性.【解析】方法一:任意取x1x20,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+=(x1-x2)+=(x1-x2)当 x1x20时,x1-x20,1-0,有f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0)在(0,上为减函数;kx1212kk(x)(x)xx12kk()xx2112k xxx x12k(1).x xk12kx xkxk当x1x2 时,x1-x2
9、0,1-0,有f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时,函数f(x)=x+(k0)在 ,+)上为增函数.综上可知,函数f(x)=x+(k0)在(0,上为减函数;在 ,+)上 为增函数.kxk12kx xkkxkk方法二:f(x)=1-,令f(x)0,则1-0,解得x 或x-(舍).令f(x)0,则1-0,解得-x0,所以0 x .所以f(x)在(0,)上为减函数;在(,+)上为增函数,也称为f(x)在(0,上为减函数;在 ,+)上为增函数.2kx2kxk2kxkkkkkkkk考点2 确定函数的最值(值域)【典例2】(1)函数y=-x(x0)的最大值为 .(2)函数y=的值域为 .
10、【解题提示】(1)利用换元法求解.(2)采用分离法,即将分子变为(x2-x+1)-1的形式,转化后求解.22xxxx1x【规范解答】(1)令t=,则t0,所以y=t-t2=结合图象,当t=,即x=时,ymax=.答案:x211(t),2412141414(2)y=因为x2-x+1=所以 即 y1)的最小值为 .【解析】方法一:基本不等式法:f(x)=(x-1)+2 当且仅当x-1=,即x=4时,f(x)min=8.2x8x122x12 x19x8x1x19x192x128x1，9x1方法二:导数法:f(x)=,令f(x)=0,得x=4或x=-2(舍去).当1x4时,f(x)4时,f(x)0,f
11、(x)在(4,+)上递增,所以f(x)在x=4处达到最小值,即f(x)min=f(4)=8.答案:8 2x4x2x1【加固训练】1.对任意两个实数x1,x2,定义max(x1,x2)=若f(x)=x2-2,g(x)=-x,则max(f(x),g(x)的最小值为()A.-2 B.-1 C.0 D.1 112212x,xx,x,xx,【解析】选B.f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,当x2+x-20时,x1或x-2;当-2x1时,x2+x-20,即f(x)g(x),所以max(f(x),g(x)=作出图象如图所示,由图象可知函数的最小值在A处取得,所以最小值为f(1)=-1.2x
12、,2x1,x2,x1x2,或2.(2013北京高考)函数f(x)=的值域为 .【解析】当x1时,f(x)=是单调递减的,此时,函数的值域为(-,0;x0恒成立,试求实数a的取值范围.2x2xax12【解析】(1)当a=时,f(x)=x+2,联想到g(x)=x+的单调性,猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性.任取1x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+=,因为1x11,2x1x2-10.又x1-x20,所以f(x1)0恒成立,则 等价于a大于函数(x)=-(x2+2x)在1,+)上的最大值.只需求函数(x)=-(x2+2x)在1,+)上的最大值.(x)=-(x2+2x)=
13、-(x+1)2+1在1,+)上递减,所以当x=1时,(x)最大值为(1)=-3.所以a-3,故实数a的取值范围是(-3,+).2x2xax22x2xa0,a(x2x),x1x1,考点3 函数单调性的应用 知考情 函数单调性结合函数图象以及函数其他性质的考查是近几年高考命题的热点.试题常以选择题、填空题的形式出现,考查比较函数值大小,求最值、解含“f”符号的不等式及求参数的值或取值范围等问题,试题难度中档.明角度 命题角度1:比较函数值或自变量的大小【典例3】(2015洛阳模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位 后关于y轴对称,当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ab B.
14、cba C.acb D.bac 12【解题提示】根据f(x2)-f(x1)(x2-x1)x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ac.故选D.15f()f().22命题角度2:解函数不等式【典例4】(2015珠海模拟)定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+)上 递增,且 =0,则满足f()0的x的集合为 .【解题提示】由奇函数的性质确定函数在(-,0)上的单调性,然后 利用函数的单调性,列出不等式求出x的集合.1f()219log x【规范解答】由奇函数y=f(x)在(0,+)上递增,且 =0,得函数 y=f(x)在(-,0)上递增,且 =0.由f()0,得 或-0,解得0 x 或1x
15、3.所以满足条件的x的取值集合为x|0 x 或1x3.答案:x|0 x 或1x3 1f()21f()219log x121219log x13131319log x命题角度3:求参数的值或取值范围【典例5】(2015杭州模拟)已知函数f(x)=满足 对任意的实数x1x2,都有 0成立,则实数a的取值范围 为 .【解题提示】先由 f(h(x)的形式,然后根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组),此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内.2.比较函数值大小的思路 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间上进行比较,对于
16、选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.3.求参数的值或取值范围的思路 根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降,再结合图象求解.通一类 1.(2015西安模拟)函数y=在(-1,+)上单调递增,则a的 取值范围是()A.a=-3 B.a3 C.a-3 D.a-3 x5xa2【解析】选C.y=由函数在(-1,+)上单调递增,有 解得a-3.x5a31xa2xa2，a30a21 ，2.(2015青岛模拟)已知函数f(x)=log2x+,若x1(1,2),x2(2,+),则()A.f(x1)0,f(x2)0 B.f(x1)0 C.f(x1)0,f(x2)0,f
17、(x2)0 11x【解析】选B.因为函数f(x)=log2x+在(1,+)上为增函数,且f(2)=0,所以当x1(1,2)时,f(x1)f(2)=0,即f(x1)0.11x3.(2015兰州模拟)已知函数f(x)是定义在区间0,+)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)0成立,那么a的取值范围是 .【解析】由已知条件得f(x)为增函数,所以 解得 a2,所以a的取值范围是 答案:x2a x1,x1,a,x11212f xf xxx2a0,a1,2a1 1a,3232)2，32)2，自我纠错4 分段函数的单调性问题 【典例】(2015金华模拟)f(x)=是R上的单调递 增函数,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.4,8)C.(4,8)D.(1,8)xa,x1,a(4)x2,x12【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:上述解题过程错在忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的大小而导致实数a的范围扩大.【规避策略】1.弄清分段函数的单调性的特点 对于分段函数的单调性,一要保证各段上同增(减),二要保证上、下段间端点值间的大小关系.2.熟练掌握分段函数单调性的图象解法 画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质进行直观判断.【自我矫正】选B.由题意f(x)在R上单调递增,则有 解得4a8.a1a402a(4)2a2 ，
