1、第八节 圆锥曲线的综合问题考点一圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题 例 1(2013新课标全国卷)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)右焦点的直线 xy 30 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为12.(1)求 M 的方程；(2)C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值自主解答(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，y2y1x2x11，由此可得b2x2x1a2y2y1y2y1x2x11.因为 x1x22
2、x0，y1y22y0，y0 x012，所以 a22b2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故 a2b23.因此 a26，b23.所以 M 的方程为x26y231.(2)由xy 30，x26y231，解得x4 33，y 33或x0，y 3.因此|AB|4 63.由题意可设直线 CD 的方程为yxn5 33 n 3，设 C(x3，y3)，D(x4，y4)由yxn，x26y231，得 3x24nx2n260.于是 x3,42n 29n23.因为直线 CD 的斜率为 1，所以|CD|2|x4x3|43 9n2.由已知，四边形 ACBD 的面积S12|CD|AB|8 699n2.当 n0 时，S 取
3、得最大值，最大值为8 63.所以四边形 ACBD 面积的最大值为8 63.【互动探究】若本例的条件不变，则四边形 ACBD 的面积有最小值吗？若有，求出其值；若没有，说明理由解：由(2)可知 3x24nx2n260，又yxn 与椭圆x26y231 相交，(4n)243(2n26)8(9n2)0，即3n3,0n29，而 SACBD8 699n2，01)，试求 的取值范围解：(1)设动圆圆心 C 的坐标为(x，y)，圆心 C 到直线 l0 的距离为 d，由题意可知|CA|d，故由抛物线的定义可知动圆圆心 C 的轨迹 D 的方程为 y24x.(2)易知曲线 E 的方程为 y24x(x4)，显然当直线
4、 l 的斜率为零或不存在时不符合题意，故可设直线 l 的方程为 ykx2(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 PA PB(1)知 x1x2，且 0 x24,00，f040，f444k24k30，021kk24，从而可得 k32.由根与系数的关系可知x1x241kk2，x1x24k2.又 x1x2，所以1241k2k241k1 2，而 k32，所以231k0，故可得 11k1 2259，从而可得 4121009，解得191 或 11，所以 的取值范围是(1,9考点二定 点 问 题 例 2(2013陕西高考)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.(1)
5、求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B(1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明直线 l 过定点自主解答(1)如图，设动圆圆心 O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|，当 O1 不在 y 轴上时，过 O1 作 O1HMN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，|O1M|x242，又|O1A|x42y2，x42y2 x242，化简得 y28x(x0)又当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y28x，动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x.(2)证明：由题意，设直
6、线 l 的方程为 ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 ykxb 代入 y28x 中，得 k2x2(2bk8)xb20，其中 32kb640.由根与系数的关系得，x1x282bkk2，x1x2b2k2，因为 x 轴是PBQ 的角平分线，所以 y1x11 y2x21，即 y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(kb)(x1x2)2b0，将代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时 0，直线 l 的方程为 yk(x1)，直线 l 过定点(1,0)【方法规律】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动
7、点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，该椭圆经过点 P1，32 且离心率为12.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不是左，右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解：(1)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，由 eca12，得 a2c，a2b2c2，b23c2，则椭圆方程变为 x24c2 y23c21.
8、又椭圆过点 P1，32，将其代入求得 c21，故 a24，b23，即椭圆的标准方程为x24y231.(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立ykxm，x24y231，得(34k2)x28mkx4(m23)0，则64m2k21634k2m230，x1x2 8mk34k2，x1x24m2334k2.又 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m23m24k234k2.椭圆的右顶点为 A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40.3m24k234k24m2334k2 16mk34k240.7m216mk4k20.
9、解得 m12k，m22k7，由得 34k2m20.当 m12k 时，l 的方程为 yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾当 m22k7 时，l 的方程为 ykx27，直线过定点27，0.直线 l 过定点，定点坐标为27，0.高频考点考点三圆锥曲线中的定值问题 1圆锥曲线中的定值问题，是近几年来高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为高档题2高考中关于圆锥曲线中的定值问题有以下几个命题角度：(1)求代数式为定值；(2)求点到直线的距离为定值；(3)求某线段长为定值例 3(2013江西高考)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率 e 32，ab3.(1)求椭圆 C
10、的方程；(2)如图所示，A，B，D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 BP 的斜率为 k，MN 的斜率为 m.证明：2mk 为定值自主解答(1)因为 e 32 ca，所以 a 23c，b 13c.代入 ab3，得 c 3，a2，b1.故椭圆 C 的方程为x24y21.(2)证明：法一：因为 B(2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线 BP 的方程为 yk(x2)k0，k12，把代入x24y21，解得 P8k224k21，4k4k21.直线 AD 的方程为：y12x1.与联立解得 M4k22k1，4k2k1.由
11、 D(0,1)，P8k224k21，4k4k21，N(x,0)三点共线知4k4k2118k224k21001x0，解得 N4k22k1，0.所以 MN 的斜率为m4k2k104k22k14k22k14k2k122k1222k122k14，则 2mk2k12k12(定值)法二：设 P(x0，y0)(x00，x02)，则 k y0 x02，直线 AD 的方程为：y12(x2)，直线 BP 的方程为：y y0 x02(x2)，直线 DP 的方程为：y1y01x0 x，令 y0，由于 y01，可得 Nx0y01，0联立y12x2，y y0 x02x2，解得 M4y02x042y0 x02，4y02y0
12、 x02，因此 MN 的斜率为m4y02y0 x024y02x042y0 x02 x0y014y0y014y208y04x0y0 x2044y0y014y208y04x0y044y204y012y0 x02，所以 2mk 2y012y0 x02 y0 x022y01x02y02y0 x022y0 x02x022y01x022y20y0 x022y0 x02x022y01x02124x20y0 x022y0 x02x0212(定值)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点
13、到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得如图所示，已知点 A(1，2)是离心率为 22 的椭圆 C：x2b2y2a21(ab0)上的一点，斜率为 2的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点，且 A、B、D 三点不重合(1)求椭圆 C 的方程；(2)ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求证：直线 AB、AD 斜率之和为定值解：(1)由题意，可得 eca 22，1b2 2a21，a2b2c2，解得 a2，b 2，c 2，所以椭圆 C 的方程
14、为x22y241.(2)设直线 BD 的方程为 y 2xm，D(x1，y1)，B(x2，y2)，由y 2xm，2x2y24，得 4x22 2mxm240，所以 8m2640，则2 2m2 2，x1x2 22 m，x1x2m244.所以|BD|1 22|x1x2|3648m24 62 8m2.设 d 为点 A 到直线 BD：y 2xm 的距离，所以 d|m|3.所以 SABD12|BD|d 24 8m2m2 2，当且仅当 8m2m2，即 m2 时取等号因为2(2 2，2 2)，所以当 m2 时，ABD 的面积最大，最大值为 2.(3)证明：设直线 AB、AD 的斜率分别为 kAB、kAD，则kA
15、DkABy1 2x11 y2 2x21 2x1m 2x11 2x2m 2x212 2mx1x22x1x2x1x21，(*)将(2)中、式代入(*)式，整理得2 2mx1x22x1x2x1x21 0，即 kADkAB0.故直线 AB、AD 斜率之和为定值课堂归纳通法领悟2 种方法求定值问题常见的两种方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在此过程中消去变量，从而得到定值4 个重视求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用5 方面考虑求最值(或范围)问题需从以下五方面考虑 见本节考点一方法规律(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围s
