1、45函数模型及其应用45.1几种函数增长快慢的比较新课程标准解读核心素养1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型数学抽象2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义逻辑推理3.能根据具体问题选择合适的函数模型数学建模一家世界500强公司曾经出过这样的一道面试题：现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能一共攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？A5年B7年C8年 D9年E永远买不起问题(1)房子每年的价格满足什么函数关系？(2)这个人每年的收入之和满足什么函数关系？(3)你能给出这道题的答案
2、吗？知识点四种常见函数模型的增长差异函数性质yax(a1)yx(0)ylogax(a1)ykx(k0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐增大随x的增大逐渐趋于稳定增长速度不变形象描述指数爆炸增长相对平缓对数增长直线上升增长速度yax(a1)的增长速度最终会大大超过其它函数的增长速度增长结果存在一个x0，当xx0时，有axxkxlogax1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型()(2)函数ylog2x增长的速度越来越慢()(3)不存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.()答案：(1)(2
3、)(3)2下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()AyexByln xCy2x Dyex答案：A3某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()Ayaxb Byax2bxcCyaexb Dyaln xb解析：选B由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是yax2bxc.几类函数模型增长的差异例1(链接教科书第135页例1)四个变量y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y3210203
4、0405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是_解析以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化答案y2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变；(2)指数函数模型：指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；(
5、3)对数函数模型：对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；(4)幂函数模型：幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间 跟踪训练下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是_y31.04x；y20x10；y40lg(x1)；y80.解析：结合三类函数的增长差异可知的预期收益最大答案：几类函数增长快慢的比较例2函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x1
6、2，9x210，所以x16x2，从图象上可以看出当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(6)x2时，f(x)g(x)，所以f(2 021)g(2 021)；又因为g(2 021)g(6)，所以f(2 021)g(2 021)g(6)f(6)不同函数的变化规律(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律 跟踪训练函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图所示：(1)指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)
7、，g(x)的大小进行比较)解：(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当x(0，x1)时，g(x)f(x)；当x(x1，x2)时，g(x)f(x)；当x(x2，)时，g(x)f(x)1下列函数中，增长速度越来越慢的是()Ay6xBylog6xCyx6 Dy6x解析：选BD中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意2在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy
8、2x2 Dylog2x解析：选D将x0.50代入计算，可以排除A；将x2.01代入计算，可以排除B、C.故选D.3.向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是()解析：选B水深h为自变量，随着h的增大，A项中V的增长速度越来越快，C项中先慢后快，D项中增长速度不变，只有B项中V的增长速度越来越慢4已知函数f(x)3x，g(x)2x，当xR时，f(x)与g(x)的大小关系为_解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)3x，g(x)2x的图象，如图所示，由于函数f(x)3x的图象在函数g(x)2x图象的上方，则f(x)g(x)答案：f(x)g(x)
