1、层级二 保分题精析精练，重点攻关全取送分、保分题就能稳进一本线主要考查基础知识、基本技能，应用所学分析解决问题的能力 题型专题（六）函数图像与性质、函数与方程必备能力是作图，高考考查识图、用图 函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换正确作图是解题的基本保障，识图、用图是解题的手段和目标.考点一：函数的图象典例(1)(2015安徽高考)函数f(x)axbxc2的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0解析 函数的定义域为x|xc，结
2、合图象知c0，c0.令x0，得f(0)bc2，又由图象知f(0)0，b0.令f(x)0，得xba，结合图象知ba0，a1.设函数f(x)(x22)(xx2)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，21，32B(，21，34C.1，14 14，D.1，34 14，解析 f(x)x22，x22xx21，xx2，x22xx21x22，1x32，xx2，x32.则 f(x)的图象如图所示yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，yf(x)与 yc 的图象恰有两个公共点，由图象知 c2 或1c0时，f(x)ln x在(0，)上为增函数，故选B.答案：B2(
3、2015全国卷)设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a()A1 B1C2 D4解析：设(x，y)为yf(x)图象上任意一点，则(y，x)在y2xa的图象上，所以有x2ya，从而有yalog2(x)，所以yalog2(x)，即f(x)alog2(x)，所以f(2)f(4)(alog22)(alog24)(a1)(a2)1，解得a2.答案：C3(2015安徽高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_解析：函数y|xa|1的图象如图所示，因为直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，故2a1，解得a
4、12.答案：12性质判断是关键，性质应用是难点(1)单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法(2)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性判断函数的奇偶性常用定义法、图象法及性质法(3)偶函数在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.考点二：函数的性质典例(1)(2015湖南高考)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在
5、(0,1)上是减函数解析 由1x0，1x0，得1x0，故 f(x)在(0,1)上为增函数答案 A(2)(2015全国卷)设函数f(x)ln(1|x|)11x2，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围是()A.13，1B.，13(1，)C.13，13D.，13 13，解析 法一：(直接法)f(x)ln(1|x|)11x2f(x)，函数f(x)为偶函数当x0时，f(x)ln(1x)11x2，在(0，)上yln(1x)递增，y11x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，)上单调递增综上可知：f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)|x|2x1|x2(2x1)23x24x1013
6、x1.法二：(特殊值排除法)令x0，此时f(x)f(0)10，x0不满足f(x)f(2x1)，故C错误令x2，此时f(x)f(2)ln 315，f(2x1)f(3)ln 4 110.f(2)f(3)ln 3ln 4 110，其中ln 3ln 4，ln 3ln 4 1100，f(2)f(3)0，即f(2)f(2x1)，故B，D错误答案 A1判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法；对于抽象函数一般用定义法2判断函数奇偶
7、性的三个技巧(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称(如本例(1)(3)对于偶函数而言，有 f(x)f(x)f(|x|)1下列函数 f(x)中，满足“x1，x2(0，)，且 x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)1xx Bf(x)x3Cf(x)ln xDf(x)2x即时应用解析：“x1，x2(0，)，且 x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”等价于在(0，)上 f(x)为减函数，易判断 f(x)1xx 符合答案：A 2(2015河北五校质检)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3
8、 的函数，当 x2,1)时，f(x)4x22，2x0，x，0 x1，则 f 52()A0 B1C.12D1解析：因为 f(x)是周期为 3 的周期函数，所以 f 52 f 123 f 12 412221.答案：D 3函数 yf x2 为定义在 R 上的偶函数，且当 x2 时，有 f(x)12xsin x，则下列选项正确的是()Af(3)f(1)f(2)Bf(2)f(1)f(3)Cf(2)f(3)f(1)Df(3)f(2)f(1)解析：由函数yf x2 为偶函数知其图象的对称轴为x0，所以函数yf(x)图象的对称轴为x 2.因为函数f(x)12xsin x在区间 2，上单调递减，所以函数f(x)
9、在区间0，2上单调递增，又在x轴上1,2,3与 2 的距离2221 23，数形结合得f(3)f(1)0，则函数 f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4解析 当x0时，由f(x)0，即x22 014x2 0150，得(x1)(x2 015)0，解得x1(舍去)或x2 015；当x0时，设g(x)x2，h(x)ln x，如图，分别作出两个函数的图象，由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数f(x)在x0时有两个零点综上，函数f(x)有3个零点，故选C.答案 C(2)已知函数 f(x)cos2x，g(x)234|x2|，x2,6，则函数 h(x)f(x)g(x)的所有零点之和为()A6 B8C
10、10 D12解析 函数h(x)f(x)g(x)的零点之和可转化为f(x)g(x)的根之和，即转化为y1f(x)和y2g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和又由函数g(x)2 34|x2|与f(x)的图象均关于x2对称，可知函数h(x)的零点之和为12.答案 D(1)函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象与x轴的交点，数形结合法是解决此类问题一个有效方法(如本例(2)(2)解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解(如应用2)1(2015太原模拟)已知实数a1,0b1,0b1，f(x)axxb，f(1)1a 1b0，
11、由零点存在性定理可知f(x)在区间(1,0)上存在零点答案：B 2(2015湖南高考)已知函数f(x)x3，xa，x2，xa.若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_解析：函数 g(x)有两个零点，即方程 f(x)b0 有两个不等实根，则函数 yf(x)和 yb 的图象有两个公共点若 aa时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线 yb 可能有两个公共点若 0a1，则 a3a2，函数 f(x)在 R 上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线 yb 至多有一个公共点若 a1，则 a3a2，函数 f(x)
12、在 R 上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线 yb 可能有两个公共点综上，a1.答案：(，0)(1，)主要考查迁移思维、数学素养，多角度、创造性地思考和解决问题的能力 一、函数与不等式的交汇函数与不等式的交汇是高考的热点，常考函数与不等式求解、恒成立问题、求参数范围等问题，题目一般有一定难度.例1(2015江西八校联考)定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2(x1x2)都有 fx1fx2x1x20，且函数yf(x1)的图象关于点(1,0)成中心对称，若s，t满足不等式f(s22s)f(2tt2)则当1s4时，t2sst 的取值范围是()A.3，12 B.3，12C.5，1
13、2D.5，12学审题yfx1的图象关于点1，0对称 fx的图象关于点0，0对称奇函数转化为不等式关于s，t的不等式关于s，t的不等式组 作出可行域 数形结合求出ts的范围转化为函数t2sts 1 31ts 结果解析 函数 f(x)在 R 上对任意 x1，x2(x1x2)都有fx1fx2x1x20 时，f(x)x24x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_即时应用解析：由已知得 f(0)0，当 x0 时，f(x)f(x)x24x，因此 f(x)x24x，x0，x24x，xx 等价于x0，x24xx 或xx，解得 x5 或5x0.答案：(5,0)(5，)二、新定义下的函数问题新定义函数问题主
14、要包括两类：一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素定义域、对应法则、值域作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；二是性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力.例2(2015长春市质量监测)对定义在0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：(1)对任意的x0,1，恒有f(x)0；(2)当x10，x20，x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立则下列3个函数中不是M函数的个数是()f(x)x2 f(x)x21 f(x)2x1A0 B1C2 D3学审题M函数 具备两个条件 验证函数结论解析 在0,1上，3 个函数都满足 f(x)0.当 x10，x20，x1x21 时：对于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2(x21x22)2x1x20，满足；对于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)21(x211)(x221)2x1x210，则此函数的“和谐点对”有()A0对B1对C2对D3对即时应用解析：作出函数f(x)的图象，然后作出f(x)log2x(x0)关于直线yx对称的图象，与函数f(x)x23x2(x0)的图象有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对答案：CTHANKS!谢谢观看
