1、第一章 基本初等函数()13 三角函数的图象与性质 13.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时 余弦函数的图象与性质课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识夯实基础 学 习 目 标了解余弦函数与正弦函数图象之间的关系，并由余弦曲线理解余弦函数的性质.自 学 导 航1.余弦函数的图象(1)余弦函数ycosx图象与函数ysin x2 的图象相同，于是把正弦曲线向左平移2个单位就可以得到余弦函数的图象(2)余弦函数图象上有五个起关键作用的点，这五个点是、2，0、32，0、(0,1)(，1)(2，1)2余弦函数的性质：(1)定义域为R，值域为，周期为2.(2)由诱导公式可知，余弦函数是
2、，它的图象关于y轴对称(3)余弦函数的单调递增区间为(2k，2k)(kZ)，单调递减区间为(2k，2k)(kZ).1,1cos(x)cosx偶函数思 考 探 究余弦曲线的对称中心和对称轴怎样表示？提示 对称中心 k2，0(kZ)，对称轴为直线xk，(kZ).自 测 自 评1.下列函数中，在 0，2 上为增函数且以为周期的函数是()Aysinx2 Bysin2xCycosx Dycos2x 解析 由周期是，可排除选项A、C，又ysin2x在 0，2上是先增再减，故排除选项B，故选D.答案 D 2函数y|cosx|的一个单调递减区间为()A.4，4B.0，4C.2，D(，2)解析 根据y|cosx
3、|的图象，可排除选项A、C、D.答案 B 3若函数f(x)cos x6 的最小正周期为 5，其中0，则的值为()A.25B.52C.5 D.10 解析 2 5，10.答案 D4函数ysinx和ycosx都是增函数的一个区间是()A.，2B.0，2C.2，0D.2，答案 C 名 师 点 拨1.正弦曲线与余弦曲线的关系把ysinx的图象向左平移2个单位就得到ycosx的图象这说明余弦曲线的形状和正弦曲线相同，只是位置不同而已学了余弦曲线以后，应在同一坐标系中，画出0,2上的正弦曲线和余弦曲线，标出两条曲线与坐标轴的交点坐标并观察曲线，弄明白它们的相同点和不同点抓住0,2上这一周期的曲线的区别，就不
4、会将两条曲线混淆 2周期性函数yAcos(x)(A0，0)的周期T2|.3单调性余弦函数ycosx在每个单调区间上都具有单调性，但在整个定义域上不是单调函数ycosx的单调增区间表示为(2k1)，2k(kZ)，单调递减区间为2k，2k(kZ)正、余弦函数的单调区间表示的是一个个区间，而不是各区间的并集 4“五点法”作图利用“五点法”作ycosx，x0,2的简图的关键仍然是列表，其方法同用“五点法”作正弦函数图象一样其中五个点横坐标的确定方法与正弦曲线相同，纵坐标通过计算即可得到课堂互动探究 剖析归纳触类旁通 例1 用“五点法”作出函数y12cos2x的简图剖析 列表，描出五个关键点，用光滑曲线
5、连接即可 典 例 剖 析解析 列表x042342x0232212cos2x12012012描点绘图，如图所示 变式训练1 用“五点法”作出函数ycosx6，x6，116 的简图 解析 x602322x6265686116 ycos10101描点作图(如图)例2 求下列函数的值域(1)y32cos2x3，x6，2；(2)y3sin2x4cosx4，x3，23；(3)y2cosx2cosx.剖析 求解关于三角函数值域问题，主要涉及的方法有：单调性法、换元法、配方法、正余弦函数的有界性等等 解析(1)6x2，02x323.12cos2x3 1.132cos2x3 4.函数的值域为1,4(2)y3si
6、n2x4cosx43cos2x4cosx1.设tcosx，x3，23，t12，12.y3t24t1在t12，12 时单调递减，当t12时，ymax154，当t12时，ymin14.y14，154.(3)y2cosx2cosx2cosx42cosx42cosx1，1cosx1，12cosx3.1312cosx1，1342cosx13.y13，3.规律技巧 求有关三角函数的值域问题要注意多方联系，求普通函数值域的方法对三角函数仍然成立 变式训练2 求下列函数的值域(1)y3cos2x6，x4，；(2)y2cos2x2cosx1，x6，23.解析(1)x4，32x6116，cos2x6 1，32，y
7、3，3 32.(2)x6，23，cosx12，32.令tcosx12，32，则函数转化为y2t22t12t12212，t12，32.1212，32.当t12时，即cosx12，x3时，ymin12.又t12时，y52；t 32 时，y52 352，当t12时，即cosx12，x23 时，ymax52.y12，52.例3 把函数ycosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移 4个单位，则所得图形表示的函数的解析式为()Ay2sin2x By2sin2xCy2cosx4Dy2cosx24 剖析 可与正弦函数的图象进行类比 解析 把ycosx的图象上所
8、有点横坐标缩小到原来的一半，得函数ycos2x的图象，再把ycos2x的图象上的点纵坐标扩大到原来的两倍，得到y2cos2x的图象，再把y2cos2x的图象向左平移4个单位，得到函数y2cos2x4 的图象，即y2sin2x的图象 答案 B变式训练3 已知函数f(x)sin x4(xR，0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cosx的图象，只要将yf(x)的图象()A向左平移8个单位长度B向右平移8个单位长度C向左平移4个单位长度D向右平移4个单位长度解析 由题知2，所以f(x)sin2x4 cos22x4cos2x4 cos2x8，故选择A.答案 A 例4 求函数y2cos 2x34的单调
9、区间、对称轴方程及对称中心剖析 把“x”看作一个“整体”，与余弦函数ycosx的单调区间、对称轴、对称中心进行类比 解析(1)单调区间：2k2x34 2k，kZ，2k34 2x2k74，kZ，k38 xk78，kZ.y2cos2x34 的单调递减区间为k38，k78(kZ)2k2x34 2k，kZ，2k42x2k34，kZ，k8xk38，kZ.y2cos2x34 的单调递增区间为k8，k38(kZ)(2)对称轴：ycosx的图象对称轴方程为xk，kZ，2x 34 k，kZ.y2cos 2x34 的对称轴方程为x12k38，kZ.(3)对称中心：ycosx的图象对称中心的坐标为 k2，0(kZ)，2x34 k2，kZ，x12k58，kZ，y2cos2x34 的对称中心坐标为12k58，0(kZ)规律技巧 余弦函数ycosx的单调区间、对称轴方程及对称中心是考查的重点，所以要求理解并掌握变式训练4 求y2cos 12x3 的单调区间、对称轴方程及对称中心坐标解析 单调递增区间：4k23，4k43(kZ)；单调递减区间：4k83，4k23(kZ)；对称轴方程：x2k23(kZ)；对称中心：(2k3，0)(kZ)
