1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.4.2抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握抛物线的几何性质(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴y轴顶点(
2、0，0)离心率e12.焦点弦直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，故|AB|x1x2p3直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0时，直线与抛物线有一个公共点；若0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，求抛物线的标准方程(1)y23x或y23x根据抛物线和圆
3、的对称性知，其交点纵坐标为，交点横坐标为1，则抛物线过点(1，)或(1，)，设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，则2p3，从而抛物线方程为y23x或y23x.(2)解：由已知得2，所以4，解得，即渐近线方程为yx.而抛物线准线方程为x，于是A，B，从而AOB的面积为p，可得p2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y24x.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为.1边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程
4、是()Ay2xBy2xCy2x Dy2xC设抛物线方程为y2ax(a0)又A(取点A在x轴上方)，则有a，解得a，所以抛物线方程为y2x.故选C.与中点弦、焦点弦有关的问题【例2】(1)过点Q(4，1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为_(2)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点时，弦长|AB|x1x2p.(3)“中点弦”问题解题策略两种方法2(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_y24x设抛物线C
5、的方程为y22px(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)则整理得，又1，y1y24，所以2p4.因此抛物线C的方程为y24x.(2)直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，求直线l的方程解因为抛物线y24x的焦点坐标为(1，0)，若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x1，此时|AB|4，不合题意，所以可设所求直线l的方程为yk(x1)，由得k2x2(2k24)xk20，则由根与系数的关系，得x1x2.又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|x1x2p28，所以6，解得k1.所以所求直线l的方程为xy10或xy10.直线与抛物线的位置关系【例3】(1)已知直线y
6、kxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y24x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？思路探究：(1)直线ykxk过定点(1，0)，根据定点与抛物线的位置关系判断(2)直线与抛物线方程联立，根据“”的正负判断(1)C直线方程可化为yk(x1)，因此直线恒过定点(1，0)，点(1，0)在抛物线y22px(p0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C.(2)解：由题意，直线l的
7、方程为y1k(x2)，由方程组(*)可得ky24y4(2k1)0.()：当k0时，由方程得y1，把y1代入y24x，得x，这时，直线l与抛物线只有一个公共点.()：当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)a由0，即2k2k10，解得k1或k，所以方程只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点b由0，即2k2k10，解得1k，于是，当1k，且k0时，方程有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l与抛物线有两个公共点c由0，解得k.于是当k时，方程没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l与抛物线无公共点综上，当k0或k1或k时，直线l与抛物线只有一个公共点当1
8、k，且k0时直线l与抛物线有两个公共点当k时，直线l与抛物线无公共点直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得222p1，解得p2，故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB，即.又A(x1，y1)，B(x2，y
9、2)均在抛物线上，所以x1，x2，从而有，即，得y1y24，故直线AB的斜率kAB1.1若本例题改为：如图所示，已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出这个最大面积如何求解？解由解得或由图可知，A(4，4)，B(1，2)，则|AB|3.设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d|(y01)29|.2y04，(y01)290)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线AB：xmy1(m0)，则消去x得y24my40.于是，有yM2m，xMmyM12m21，即M
10、(2m21，2m)同理，N.因此，直线MN的斜率kMN，方程为y2m(x2m21)，即mx(1m2)y3m0.显然，不论m为何值，(3，0)均满足方程，所以直线MN过定点(3，0)应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数
11、无关，也常用特值探路法找定点、定值1讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用3判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果(2)代数法：设直线l的方程为ykxm，抛物线的方程为y22px
12、(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2BxC0(或Ay2ByC0)相交：有两个交点：有一个交点：A0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即相离：没有公共点，即直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为()Ax23yBy26xCx212y Dx26yC由题意知抛物线方程为x22py，且3，即p6，因此抛物线方程为x212y.2若抛物线y22x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A. B.C. D.A线段AB所在的直线的方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1.3若直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_(4，2)由得x28x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y2x1x244，故线段AB的中点坐标为(4，2)4设直线y2xb与抛物线y24x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，求b的值解由消去y，得4x24(b1)xb20.由0，得b.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x21b，x1x2.|x1x2|.|AB|x1x2|3，12b9，即b4.- 15 - 版权所有高考资源网
