1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节平面向量基本定理及坐标表示微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升微专题 巧突破2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。2015，北京卷，13,5分(平面向量基本定理)2015，江苏卷，6,5分(平面向量坐标运算)2013，北京卷，13,5分(平面向量基本定理)1.以考查平面向量的坐标运算为主，平面向量基本定理的应用也是考查的热点；2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低，主要
2、与平面向量的数量积结合考查。微知识 小题练 教材回扣 基础自测 自|主|排|查 1平面向量基本定理(1)基底：_的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。(2)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a_。2平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成ax iyj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a_，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y。不共线不共线1e12e2(x，y)3平面向量的
3、坐标运算 4向量共线的坐标表示 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_0。向量的加法、减法设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_，ab_向量的数乘设a(x，y)，R，则a_向量坐标的求法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x，y)(x2x1，y2y1)x1y2x2y1微点提醒1能作为基底的两个向量必须是不共线的。2向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但由于向量的坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变。3若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因
4、为 x2，y2 有可能等于 0，应表示为 x1y2x2y10。小|题|快|练一、走进教材1(必修 4P99 例 8 改编)设 P 是线段 P1P2 上的一点，若 P1(1,3)，P2(4,0)且 P 是 P1P2 的一个三等分点，则点 P 的坐标为()A(2,2)B(3，1)C(2,2)或(3，1)D(2,2)或(3,1)【解析】由题意得P1P 13P1P2 或P1P 23P1P2，P1P2(3，3)。设 P(x，y)，则P1P(x1，y3)，当P1P 13P1P2 时，(x1，y3)13(3，3)，所以 x2，y2 时，即 P(2,2)。当P1P 23P1P2 时，(x1，y3)23(3，3
5、)，所以 x3，y1，即 P(3,1)。故选 D。【答案】D【解析】由向量 a(2,3)，b(1,2)，得 manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)。由 manb 与 a2b 共线，得2mn43m2n1，所以mn12。故选 A。【答案】A2(必修 4P108A 组 T7 改编)已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若 manb 与 a2b 共线，则mn()A12B.12C2 D2【解析】ACABBC，AC(1,2)(3,4)(4,6)。故选 A。【答案】A二、双基查验1若向量AB(1,2)，BC(3,4)，则AC()A(4,6)B(4，6)C(2，2)D(2,2)【解析】由 ab 可得
6、2(2)1x0，故 x4，所以 ab(2，1)。故选 A。【答案】A2已知向量 a(2,1)，b(x，2)，若 ab，则 ab 等于()A(2，1)B(2,1)C(3，1)D(3,1)【解析】A(4,1)，B(7，3)，AB(3，4)。与AB同向的单位向量为 AB|AB|35，45。故选 A。【答案】A3已知两点 A(4,1)，B(7，3)，则与AB同向的单位向量是()A.35，45B.35，45C.45，35D.45，35【解析】MN MD DA AN14ab12a14ab，m14，n1。nm4。【答案】44梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N 分别是 CD，AB 的中点，设AB
7、a，AD b。若MN manb，则nm_。【解析】设AD(x，y)，因为ACABAD，所以(1,3)(2,4)(x，y)，所以12x，34y，即x1，y1，所以AD(1，1)，所以BD AD AB(1，1)(2,4)(3，5)。【答案】(3，5)5在ABCD 中，AC 为一条对角线，AB(2,4)，AC(1,3)，则向量BD 的坐标为_。微考点 大课堂 考点例析 对点微练考点一平面向量基本定理及其应用母题发散【典例 1】(1)如果 e1，e2 是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1 与 e1e2Be12e2 与 e12e2Ce1e2 与 e
8、1e2De12e2 与e12e2(2)(2017福州模拟)在ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且CP23CA13CB，Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，又CM tCP，则实数 t 的值为_。【解析】(1)选项 A 中，设 e1e2e1，则1，10无解；选项 B 中，设 e12e2(e12e2)，则1，22，无解；选项 C 中，设 e1e2(e1e2)，则1，1，无解；选项 D 中，e12e2(e12e2)，所以两向量是共线向量。故选D。(2)因为CP23CA13CB，所以 3CP2CACB，即 2CP2CACBCP，所以 2APPB。即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近
9、 A 点)，又因为 A，M，Q 三点共线，设AM AQ。所以CM AM ACAQ AC12AB12AC AC2AB22 AC，又CM tCPt(APAC)t13ABAC t3ABtAC。故2t3，22 t，解得t34，12。故 t 的值是34。【答案】(1)D(2)34【解析】由(2)的解析CM 2AB22 AC及 12，CB2CQ 知，CM12(CBCA)22 CA2CB(1)CACQ(1)CACQ CA2。因此点 M 是 AQ 的中点。【答案】点 M 是 AQ 的中点【母题变式】在本典例(2)中，试问点 M 在 AQ 的什么位置？反思归纳 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形
10、法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。考点二平面向量的坐标运算【典例 2】已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)。设ABa，BCb，CAc，且CM 3c，CN 2b。(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标。【解析】由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)。(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6
11、，42)。(2)mbnc(6mn，3m8n)，6mn5，3m8n5，解得m1，n1。(3)CM OM OC 3c，OM 3cOC(3,24)(3，4)(0,20)。M(0,20)。又CN ON OC 2b，ON 2bOC(12,6)(3，4)(9,2)。N(9,2)。MN(9，18)。【答案】(1)(6，42)(2)m1，n1(3)M(0,20)N(9,2)MN(9，18)反思归纳 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。【解析】(1)AD BCACAB(1，1)，BD BAAD(2，
12、4)(1，1)(3，5)。(2)设 a(x，y)，x0，y0，则 x2y0 且 x2y220，解得 x4，y2(舍去)，或者 x4，y2，即 a(4，2)。【答案】(1)(3，5)(2)(4，2)【变式训练】(1)在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则BD _。(2)设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a的坐标为_。【解析】由 ab 得 sin2cos20，即 2sincoscos2，又02，cos0，所以 2sincos 可得 tan12。【答案】12考点三向量共线的坐标表示多维探究角度一：利用向量共线
13、的坐标运算求参数值【典例 3】设 00，b0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则1a1b的最小值为_。(2)由题意得AB(a2，2)，AC(b2，4)，又ABAC，所以(a2，2)(b2，4)，即a2b2，24，整理得 2ab2，所以1a1b12(2ab)1a1b 1232ab ba 1232 2ab ba 32 22(当且仅当 b 2a 时，等号成立)。【答案】(1)2(2)32 22微考场 新提升考题选萃 随堂自测解析 BEBAAD DE ab12ab12a。故选 A。答案 A1在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，且ABa，AD b，则BE()Ab12aBb12a
14、Ca12bDa12b解析 设 cab，(1,2)(1,1)(1，1)，1，2，12，32，c12a32b。故选 B。答案 B2已知 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则 c 等于()A12a32bB.12a32bC32a12bD32a12b解析 设 d(x，y)，由题意知 4a(4，12)，4b2c(6，20)，2(ac)(4，2)，又 4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得 x2，y6，所以 d(2，6)。故选 D。答案 D3设向量 a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量 4a,4b2c,2(ac)，d 的有向线段首
15、尾相连能构成四边形，则向量 d()A(2,6)B(2,6)C(2，6)D(2，6)解析 P 中，a(1m,12m)，Q 中，b(12n，23n)。则1m12n，12m23n。得m12，n7。此时 ab(13，23)。答案(13，23)4Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则 PQ 等于_。解析 AB(a1,3)，AC(3,4)，据题意知ABAC，4(a1)3(3)，即 4a5，a54。答案 545若三点 A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数 a 的值为_。微专题 巧突破 冲击名校 自主阅读向量问题坐标化向量具有代数和几何的双
16、重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础。在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷。【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则 B(3，0)，C(3，0)，A(0,3)，则点 P 的轨迹方程为 x2(y3)21。设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 x2x0 3，y2y0，【典例】(2016四川高考)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，平面ABC 内的动点 P，M 满
17、足|AP|1，PM MC，则|BM|2 的最大值是()A.434 B.494C.376 34D.372 334代入圆的方程得x0 322y032214，所以点 M 的轨迹方程为x 322y32214，它表示以32，32 为圆心，以12为半径的圆，所以|BM|max32 3 2320 21272，所以|BM|2max494。故选 B。【答案】B【解析】以 O 为坐标原点、OA 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1,0)，B12，32。【变式训练】给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它们的夹角为23。如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧上运动。若OC xOA yOB，其中 x，yR，求 xy 的最大值。设AOC0，23，则 C(cos，sin)。由OC xOA yOB，得cosx12y，sin 32 y，所以 xcos 33 sin，y2 33 sin，所以 xycos 3sin2sin6，又 0，23，所以当 3时，xy 取得最大值 2。【答案】2
