1、课时作业31数列求和一、选择题(每小题5分,共40分)1(2014西安调研)等比数列an的前n项和为Sn,若a11,且4a1,2a2,a3成等差数列,则S4()A7B8C15 D16解析:设数列an的公比为q,则4a24a1a3,4a1q4a1a1q2,即q24q40,q2.S415.答案:C2数列1,2,3,4,的前n项和为()A2 B2C.(n2n2) D.n(n1)1解析:S1234n123n,则S123(n1)n,得Sn1.S2.答案:B3(2014日照模拟)已知数列an的通项公式为anlog2(nN),设其前n项和为Sn,则使Sn5成立的自然数n()A有最大值63 B有最小值63C有
2、最大值32 D有最小值32解析:Sna1a2a3anlog2log2log2log2log2log25,6462,nmin63.答案:B4(2014临沂模拟)在数列an中,an,若an的前n项和为,则项数n为()A2 011 B2 012C2 013 D2 014解析:an,Sn1,解得n2 013.答案:C5(2012新课标全国)数列an满足an1(1)nan2n1,则an的前60项和为()A3 690 B3 660C1 845 D1 830解析:当n2k时,a2k1a2k4k1,当n2k1时,a2ka2k14k3,a2k1a2k12,a2k1a2k32,a2k1a2k3,a1a5a61.a
3、1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(4301)30611 830.答案:D6(2014山东日照一模,10)已知数列an的前n项和Snn26n,则|an|的前n项和Tn()A6nn2Bn26n18C.D.解析:由Snn26n得an是等差数列,且首项为5,公差为2.an5(n1)22n7,n3时,an3时,an0,Tn答案:C7已知数列an满足an1,且a1,则该数列的前2 012项的和等于()A. B3 015C1 509 D2 010解析:因为a1,又an1,所以a21,从而a3,a41,即得an故数列的前2 012项的和等于S2 0121 006(1)1 509
4、.答案:C8(2014郑州模拟)数列an满足anan1(nN),且a11,Sn是数列an的前n项和,则S21()A. B6C10 D11解析:依题意得anan1an1an2,则an2an,即数列an中的奇数项,偶数项分别相等,则a21a11,S21(a1a2)(a3a4)(a19a20)a2110(a1a2)a211016.答案:B二、填空题(每小题5分,共15分)9数列an的前n项和为Sn,a11,a22,an2an1(1)n(nN),则S100_.解析:由an2an1(1)n,知a2k2a2k2,a2k1a2k10,a1a3a5a2n11,数列a2k是等差数列,a2k2k.S100(a1a
5、3a5a99)(a2a4a6a100)50(246100)502 600.答案:2 60010已知等比数列an的各项均为不等于1的正数数列bn满足bnlgan,b318,b612则数列bn的前_项和最大解析:bn1bnlglgq(常数)bn为等差数列,b12d18,b15d12,可得d2,b122,由bn2n240,知n12,S11S12132最大答案:11或1211下面给出一个“直角三角形数阵”,满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(ij,i,jN),则a83等于_解析:设第一列为数列an1,则an1(n1).设第n行第m列为
6、anm()m1,a83()31.答案:三、解答题(共3小题,每小题15分,共45分解答写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)12已知数列an的前n项和为Sn,且a11,an1Sn(n1,2,3,)(1)求数列an的通项公式;(2)设bnlog(3an1)时,求数列的前n项和Tn.解:(1)由已知得得到an1an(n2)数列an是以a2为首项,以为公比的等比数列又a2S1a1,ana2()n2()n2(n2)又a11不适合上式,an(2)bnlog(3an1)log()n1n.Tn()()()()1.13(2013广东理,19)设数列an的前n项和为Sn,已知a11,an1n2n,nN.(1)
7、求a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有. 解:(1)依题意,2S1a21,又S1a11,所以a24;(2)当n2时,2Snnan1n3n2n,2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)整理得(n1)annan1(n1),即1,又1故数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以1(n1)1n,所以ann2.(3)当n1时,1;当n2时,1;当n3时,此时11()()()1综上,对一切正整数n,有14(2014南昌模拟)将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表:a1a2a3a4a5a
8、6a7a8a9已知表中的第一列数a1,a2,a5,构成一个等差数列,记为bn,且b24,b510.表中每一行正中间一个数a1,a3,a7,构成数列cn,其前n项和为Sn.(1)求数列bn的通项公式;(2)若上表中,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数,且a131.求Sn;记Mn|(n1)cn,nN,若集合M的元素个数为3,求实数的取值范围解:(1)设等差数列bn的公差为d,则解得所以bn2n.(2)设每一行组成的等比数列的公比为q.由于前n行共有135(2n1)n2个数,且321342,a10b48,所以a13a10q38q3,又a131,所以解得q.由已知可得cnbnqn1,因此cn2n()n1.所以Snc1c2c3cn,Sn,因此Sn44,解得Sn8.由知cn,不等式(n1)cn,可化为.设f(n),计算得f(1)4,f(2)f(3)6,f(4)5,f(5).因为f(n1)f(n),所以当n3时,f(n1)f(n)因为集合M的元素个数为3,所以的取值范围是(4,5