1、3.3 两角和与差的三角函数 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 3.3 两角和与差的三角函数双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1两角和与差的余弦cos()_；cos()_.2两角和与差的正弦sin()_；sin()_.coscossinsincoscossinsinsincoscossinsincoscossin3两角和与差的正切tan()_；tan()_.(，均A不等于k，kZ)tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan 2你能在这6个公式的逻辑联系框图间的“”上，写出它们间的关系吗？思考感悟提示：课前热身1(原创题)下列式子中，数值与 2最接近的是()
2、A.3cos54sin54 B.3cos64sin64C.3cos74sin74 D.3cos84sin84解析：选 C.A 中式子为 2cos24，B 中为 2cos34，C 中为 2cos44，D 中为 2cos54.因为 cos44最接近22，因此 2cos44最接近 2.答案：D2已知 tan 3，tan43，则 tan()等于()A3 B13C3 D.13答案：C3(2011 年博州质检)sin45sin105cos225sin15的值为()A 32B12C.12D.324(教材习题改编)已知 tan 2，tan13，其中 ，(0，2)，则 的值为_答案：45(原创题)cos43co
3、s77sin43cos167的值为_答案：12考点探究挑战高考 考点突破 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用、的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的三角函数的化简求值(2010 年高考四川卷)(1)证明两角和的余弦公式 C()：cos()coscossinsin；由 C()推导两角和的正弦公式 S()sin()sincoscossin.(2)已知ABC 的面积 S12，AB AC 3，且 cosB35，求 cosC.例1【思路点拨】(1)由角的概念的推广及三角函数定义可得角的终边与单位圆的交点坐标，
4、然后利用两点间距离公式可证；利用诱导公式证明；(2)求出角A的三角函数值后利用两角和的余弦公式求解【解】(1)如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角，与，使角的始边为Ox，交O于点P1，终边交O于点P2；角的始边为OP2，终边交O于点P3，角的始边为OP1，终边交O于点P4.则P1(1,0)，P2(cos，sin)，P3(cos()，sin()，P4(cos()，sin()由 P1P3P2P4 及两点间的距离公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2，展开并整理，得 22cos()22(coscossinsin)cos()coscossinsin.由易得，c
5、os(2)sin，sin(2)cos.sin()cos2()cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin()sincoscossin.sin()sincoscossin.(2)由题意，设ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c，则 S12bcsinA12.AB AC bccosA30.A(0，2)，cosA3sinA.又 sin2Acos2A1，sinA 1010，cosA3 1010.由题意 cosB35，得 sinB45.cos(AB)cosAcosBsinAsinB 1010.故 cosCcos(AB)cos(AB)1010.【名师点评】(1)在三角函数的综合试题中三角恒等
6、变换是解题的基本工具，只有在解题中合理、灵活地使用三角恒等变换这个工具，才能顺利解答这类试题(2)在与平面向量综合的三角函数问题中，往往是根据平面向量的平行、垂直、数量积等得到一个三角函数的方程，这个方程往往是解题的突破口，注意方程思想的运用在三角形中进行三角恒等变换时要注意三角形内角和定理的运用常见的三角变换1两角和、差的正切公式的变形使用，如：tan tan tan()(1tan tan)；2cos cos 2 cos2nsin2n12nsin ；3辅助角公式 asin xbcosxa2b2sin(x)化简：(1)(tan10 3)cos10sin50；(2)3 15sinx3 5cosx
7、；(3)已知函数 f(x)3sinxcosx(0)，yf(x)的图像与直线 y2 的两个相邻交点的距离等于，求f(x)的单调递增区间例2【思路点拨】(1)将 tan60 3代入式中，然后化切为弦进行化简；(2)采用辅助角公式化简；(3)逆用两角和的正弦公式【解】(1)法一：(tan10 3)cos10sin50(tan10tan60)cos10sin50(sin10cos10sin60cos60)cos10sin50 sin50cos10cos60cos10sin502.法二：(tan10 3)cos10sin50(tan10tan60)cos10sin50tan(1060)(1tan10ta
8、n60)cos10sin50tan50(1tan10tan60)cos10sin50tan50(1sin10sin60cos10cos60)cos10sin50sin50cos50cos50cos10cos60cos10sin502.(2)3 15sinx3 5cosx6 5(32 sinx12cosx)6 5(cos6sinxsin6cosx)6 5sin(x6)(3)f(x)3sin xcos x2sin(x6)(0)f(x)的图像与直线 y2的两个相邻交点的距离等于，恰好是 f(x)的一个周期，2，2.f(x)2sin(2x6)故其单调增区间应满足 2k22x62k2(kZ)，即 k3x
9、k6(kZ)f(x)的单调增区间为k3，k6(kZ)【思维升华】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值(2)化为正负相消的项，消去求值(3)化简分子、分母使之出现公约数进行约分而求值变式训练 1 化简：(1)tan25tan35 3tan25tan35；(2)cos 11cos211cos311cos411cos511.解：(1)原式tan(2535)(1tan25tan35)3tan25tan35 3.(2)原式sin2112sin 11sin4112sin211sin6112sin311sin8112sin411sin10112si
10、n511 132sin 511sin 311sin 11sin 11sin311sin 511 132.对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变换成“已知角”若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要会拆角、拼角等技巧角的合理配凑与变换(2011 年蚌埠质检)设 cos(2)19，sin(2)23，其中 (2，)，(0，2)，求 cos()的值例3【思路点拨】注意到条件中的角与待求结论中的角存在着以下关系：(2)(2)2，因此可以先求出 cos 2，再利用倍角公式求出 cos()
11、的值【解】(2，)，(0，2)，2(4，)，2(4，2)，sin(2)1cos2 21 1814 59，cos(2)1sin22 149 53，cos 2cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)19 53 4 59 237 527，cos()2cos2 212(7 527)21239729.【方法小结】解决三角函数的给值求值问题，其关键在于把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”变式训
12、练2如图，在直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 、，它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 210，2 55.(1)求 tan()的值；(2)求 2 的值解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知：cos 210，cos2 55.为锐角，sin 0，故 sin 1cos27 210，同理可得 sin 55，因此 tan 7，tan12.tan()tan tan1tan tan71217123.(2)tan(2)tan()tan tan1tan tan31213121.又 0 2，02，故 0 232，从而由 tan(2)1，得 234.方法技巧
13、方法感悟1巧用公式变形和 差 角 公 式 变 形：tanxtany tan(xy)(1 tanxtany)；倍角公式变形：降幂公式 cos2 1cos22，sin2 1cos22；配方变形：1sin(sin2 cos2)2,1cos 2cos22，1cos 2sin22.(如例 2 变式(1)3重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等
14、变形(如例2(1)2利用辅助角公式求最值、单调区间、周期yasin bcos a2b2sin()(其中tanba)有 a2b2|y|.(如例 2(2)、(3)4已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化！(如例3)失误防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在(0，)范围内，sin()22 所对应的角 不是唯一的3在三角求值时，往往要确定角的范围后求值考情分析 考向瞭望把脉高考 两角
15、和与差的三角函数是每年高考的必考的知识点之一，考查重点是利用两角和与差的公式进行三角函数的给角求值，给值求值，给值求角等问题，近几年加强了对角的配凑以及角的范围的考查，既有小题，又有解答题，难度中、低档，主要考查公式的灵活运用及恒等变形能力预测2012年的高考仍将以和差角公式为主要考点，重点考查利用和差角公式进行化简、求值的计算能力【思路点拨】对sin43cos13cos43sin13适当变形，利用两角差的正弦公式即可求出命题探源(2010 年高考福建卷)计算 sin43cos13cos43sin13的结果等于()A.12 B.33C.22D.32例【答案】A【解析】原式sin(4313)si
16、n3012，故选 A.【名师点评】(1)在利用三角恒等变换公式求值时，有 时需 要先 变形 才能 使用 公式 如 计算cos47cos13cos77cos43，不具备直接使用公式的条件，只要根据诱导公式变形即可达到解题的目的，即 cos47cos13cos77cos43sin43cos13sin13cos43sin3012，或者 cos47cos13cos77cos43 cos47cos13 sin47sin13 cos6012.(2)重视三角公式的“三用”：“正用”是三角公式最常见的应用，必须熟悉每个三角公式正用的条件；“逆用”能体现对逆向思维的考查；“变形用”体现思维的灵活性，只有熟悉了公
17、式的“变形用”后，才算真正掌握了公式的应用名师预测1sin163sin223sin253sin313等于()A12B.12C 32D.32解析:选 B.原式sin17(sin43)(sin73)(sin47)sin17sin43cos17cos43cos6012，故选B.2已知 cos(6)sin4 35，则 sin(76)的值是()A2 35B.2 35C45D.45解析：选 C.cos(6)sin4 35 32sin 32cos4 35 sin(6)45.sin(76)sin(x6)45.3若角 的终边经过点(1，2)，则 tan(3)的值为_解析：tan21 2，tan(3)tan tan 31tan tan 3 2 312 3 85 311.4在ABC中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1.则C等于_答案：85 311解析：将两式两边分别平方相加，得2524(sinAcosBcosAsinB)2524sin(AB)37，sin(AB)sinC12，C30或 150.当 C 150 时，A B 30，此 时 3sinA4cosB3sin304cos0112，这与 3sinA4cosB6 相矛盾，C30.答案：30本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
