1、乐山市2018-2019学年高二下学期期末教学质量检测数学(理科)试卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.老师在班级50名学生中,依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查,这种抽样方法是()A. 随机抽样B. 分层抽样C. 系统抽样D. 以上都是【答案】C【解析】【分析】对50名学生进行编号,分成10组,组距为5,第一组选5,其它依次加5,得到样本编号.【详解】对50名学生进行编号,分成10组,组距为5,第一组选5,从第二组开始依次加5,得到样本编号为:5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,属于
2、系统抽样.【点睛】本题考查系统抽样的概念,考查对概念的理解.2.在复平面内,复数,对应的点分别为,若为线段的中点,则点对应的复数是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用中点坐标公式,求得点的中点,再由复平面内点与复数的对应关系,得到点C对应的复数.【详解】由题意得:,由中点坐标公式得:点,其对应的复数.【点睛】本题考查复平面内点与复数的对应关系,考查对复数相关概念的理解.3.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是()A. 18B. 24C. 30D. 36【答案】C【解析】【分析】由于选出的3名学生男女生都有,所以可分成两类,一类是1男2女
3、,一类是2男1女.【详解】由于选出的3名学生男女生都有,所以可分成两类:(1)3人中是1男2女,共有;(2)3人中2男1女,共有;所以男女生都有的选法种数是.【点睛】本题考查分类与分步计算原理,考查分类讨论思想及简单的计算问题.4.设为虚数单位,则的展开式中含的项为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式,当时,对应项即为含的项.【详解】因为,当时,.【点睛】本题考查二项式定理中的通项公式,求解时注意,防止出现符号错误.5.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析:掷两颗均匀的骰子,共有36种基本事件,
4、点数之和为5的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)这四种,因此所求概率为,选B。考点:概率问题6.曲线在点处的切线平行于直线,则点的坐标为( )A. B. C. 和D. 【答案】C【解析】【分析】求导,令,故或,经检验可得点的坐标.【详解】因,令,故或,所以或,经检验,点,均不在直线上,故选C【点睛】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,考查两直线平行的条件:斜率相等,属于基础题7.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多
5、少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的,则一开始输入的x的值为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图,当输入的数为,则输出的数为,令可得输入的数为.【详解】,当时,解得:.【点睛】本题考查直到型循环,要注意程序框图中循环体执行的次数,否则易选成错误答案.8.已知的分布列为-101设,则的值为()A. 4B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】由的分布列,求出,再由,求得.【详解】,因为,所以.【点睛】本题考查随机变量的期望计算,对于两个随机变量,具有线性关系,直接利用公式能使运算更简洁.9.在区间上任取两个实数a,b,则函数无零点的概率为()A. B.
6、C. D. 【答案】D【解析】【分析】在区间上任取两个实数a,b,其对应的数对构成的区域为正方形,所求事件构成的区域为梯形区域,利用面积比求得概率.【详解】因为函数无零点,所以,因为,所以,则事件函数无零点构成的区域为梯形,在区间上任取两个实数a,b所对应的点构成的区域为正方形,所以函数无零点的概率.【点睛】本题考查几何概型计算概率,考查利用面积比求概率,注意所有基本事件构成的区域和事件所含基本事件构成的区域.10.根据如下样本数据得到的回归方程为,则345678A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】B【解析】【详解】试题分析:由表格数据的变化情况可知回归直线斜率为负数,中心点为,代入回归方
7、程可知考点:回归方程11.若函数在区间上单调递减,则实数t的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数在区间上单调递减,得到不等式在恒成立,再根据二次函数根的分布,求实数t的取值范围.【详解】因为函数在区间上单调递减,所以在恒成立,所以即解得:.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围,考查逻辑思维能力和运算求解能力,求解时要充分利用二次函数的图象特征,把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.12.已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )A. (,0)B. C. (0,1)D. (0,)
8、【答案】B【解析】函数f(x)=x(lnxax),则f(x)=lnxax+x(a)=lnx2ax+1,令f(x)=lnx2ax+1=0得lnx=2ax1,函数f(x)=x(lnxax)有两个极值点,等价于f(x)=lnx2ax+1有两个零点,等价于函数y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)当a=时,直线y=2ax1与y=lnx的图象相切,由图可知,当0a时,y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点则实数a的取值范围是(0,)故选B二、填空题。13.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率为_【答案】
9、【解析】【分析】总体含100个个体,从中抽取容量为5的样本,则每个个体被抽到的概率为.【详解】因为总体含100个个体,所以从中抽取容量为5的样本,则每个个体被抽到的概率为.【点睛】本题考查简单随机抽样的概念,即若总体有个个体,从中抽取个个体做为样本,则每个个体被抽到的概率均为.14.已知复数z满足,则_【答案】【解析】【分析】求出复数,代入模的计算公式得.【详解】由,所以.【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算,属于基础题.15.如图,正方体的棱长为1,分别为线段上的点,则三棱锥的体积为_.【答案】【解析】【详解】则,因为平面,所以所在位置均使该三棱锥的高为;而不论在上的那一个位置,均为,所
10、以【考点定位】本题考查空间几何体的体积运算方法,依据空间线面关系推证,进行等积转换是常考点.这里转换底面极为重要,由于两个动点的出现,加大了定值识别的难度.16.若曲线与曲线在上存在公共点,则的取值范围为 【答案】【解析】试题分析:根据题意,函数与函数在上有公共点,令得:设则由得:当时,函数在区间上是减函数,当时,函数在区间上是增函数,所以当时,函数在上有最小值所以考点:求参数取值范围三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17.已知函数(1)若函数的导函数为偶函数,求的值;(2)若曲线存在两条垂直于轴的切线,求的取值范围【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)求出函数的导数,由
11、于二次函数为偶函数,所以一次项系数为,进而求得a的值;(2)由题意得存在两个不同的根,转化成二次函数的判别式大于.【详解】(1),由题因为为偶函数,即(2)曲线存在两条垂直于轴切线,关于的方程有两个不相等的实数根,即,.a的取值范围为.【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题,考查逻辑推理和运算求解能力,求解时要懂得把曲线存在两条垂直于轴的切线转化成方程有两根.18.为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析下面是该生7次考试的成绩数学888311792108100112物理949110896104
12、101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;(2)已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理建议参考公式:方差公式:,其中为样本平均数.,。【答案】(1)物理成绩更稳定.证明见解析;(2)130分,建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高【解析】【分析】(1)分别算出物理成绩和数学成绩的方差;(2)利用最小二乘法,求出关于的回归方程,再用代入回归方程,求得.【详解】(1),从而,物理成绩更稳定.(2)
13、由于与之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到,线性回归方程为,当时,.建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高【点睛】本题考查统计中的方差、回归直线方程等知识,考查基本的数据处理能力,要求计算要细心,防止计算出错.19.已知函数,(1)求在区间上的极小值和极大值;(2)求在(为自然对数的底数)上的最大值【答案】(1)极小值为,极大值为.(2)答案不唯一,具体见解析【解析】【分析】(1)对三次函数进行求导,解导数不等式,画出表格,从而得到极值;(2)由(1)知函数的性质,再对进行分类讨论,求在的性质,比较两段的最大值,进而得到函数的最大值.【详解】(1
14、)当时,令,解得或.当x变化时,的变化情况如下表:x0-0+0-递减极小值递增极大值递减故当时,函数取得极小值为,当时,函数取值极大值为.(2)当时,由(1)知,函数在和上单调递减,在上单调递增.因为,所以在上的值大值为2.当时,当时,;当时,在上单调递增,则在上的最大值为.故当时,在上最大值为;当时,在上的最大值为2.【点睛】本题三次函数、对数函数为背景,考查利用导数求三次函数极值,考查分类讨论思想的应用.20.如图,在矩形中,是的中点,以为折痕将向上折起,变为,且平面平面(1)求证:;(2)求二面角的大小【答案】(1)见证明;(2)90【解析】【分析】(1)利用垂直于所在的平面,从而证得;
15、(2)找到三条两两互相垂直的直线,建立空间直角坐标系,写出点的坐标,再分别求出两个面的法向量,最后求法向量的夹角的余弦值,进而得到二面角的大小.【详解】(1)证明:,.(2)如图建立空间直角坐标系,则、,从而,.设为平面的法向量,则令,所以,设为平面的法向量,则,令,所以,因此,有,即,故二面角的大小为.【点睛】证明线线垂直的一般思路:证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面,所以根据题目所给的图形,观察并确定哪一条线垂直于哪一条线所在的平面,是证明的关键.21.交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为,其范围为,分为五个级别,畅通;基本畅通;轻度拥堵;中度拥
16、堵;严重拥堵.早高峰时段(),从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.(1)这50个路段为中度拥堵的有多少个?(2)据此估计,早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少?(3)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟,基本畅通为30分钟,轻度拥堵为36分钟,中度拥堵为42分钟,严重拥堵为60分钟,求此人所用时间的数学期望.【答案】(1)18(2)3996【解析】试题分析:(1)频率直方图中小矩形的面积等于该段的概率,由此可以得出中度拥堵的概率,继而得出这50个路段中中度拥挤的有多少个;记事件为一个路段严重拥堵,其概率,则,所
17、以三个路段至少有一个严重拥堵的概率为;(3)根据频率分布直方图列出分布列,即可求得数学期望. 试题解析:(1),这50路段为中度拥堵的有18个.(2)设事件“一个路段严重拥堵”,则,事件三个都未出现路段严重拥堵,则所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是.(3)由频率分布直方图可得:分布列如下表:303642600.10.440.360.1.此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟.22.已知函数(为自然对数的底数).(1)讨论函数的单调性;(2)当时,恒成立,求整数的最大值.【答案】(1)见解析;(2) 的最大值为1.【解析】【分析】(1)根据的不同范围,判断导函数的符号,从而得到的
18、单调性;(2)方法一:构造新函数,通过讨论的范围,判断单调性,从而确定结果;方法二:利用分离变量法,把问题变为,求解函数最小值得到结果.【详解】(1) 当时, 在上递增;当时,令,解得:在上递减,在上递增;当时, 在上递减(2)由题意得:即对于恒成立方法一、令,则当时, 在上递增,且,符合题意;当时, 时,单调递增则存在,使得,且在上递减,在上递增 由得:又 整数的最大值为另一方面,时,时成立方法二、原不等式等价于:恒成立令 令,则在上递增,又,存在,使得且在上递减,在上递增又, 又,整数的最大值为【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用,以及导数当中的恒成立问题.处理恒成立问题一方面可以构造新函数,通过研究新函数的单调性,求解出范围;另一方面也可以采用分离变量的方式,得到参数与新函数的大小关系,最终确定结果.