1、7.2 两条直线的位置关系 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 7.2 两条直线的位置关系双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1两条直线平行与垂直的判定(1)设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为1、2，则l1l2时，12，从而有l1l2_.这是对于不重合的直线l1，l2而言的如果l1与l2是否重合不能确定时，k1k2时，可以得到_或_.(2)若两条直线都有斜率，且l1、l2的斜率分别为k1、k2，则l1l2_.若l1的斜率为0，当l1l2时，l2的斜率_，其倾斜角为_.k1k2l1l2l1与l2重合k1k21不存在90思考感悟两条直线l1、l2垂直的充要条件是斜率
2、之积为1，这句话正确吗？提示：不正确两条直线的斜率之积为1，可以得到两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为1，如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l1与l2互相垂直A1B2A2B102两条直线的交点坐标已知两条直线：l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，当满足条件_时，l1 与l2 相交，其交点可由方程组A1xB1yC10A2xB2yC20 求得，若方程组有一解，则两直线_；若方程组无解，则两直线_；若方程组有无数解，则两直线_平行重合相交3距离公式(1)两点间距离公式两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是_.(2)点到直线
3、的距离点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为d=_.|P1P2|x2x12y2y12|Ax0By0C|A2B2点P(x0，y0)到x轴的距离为_；点P(x0，y0)到y轴的距离为_；点P(x0，y0)到与x轴平行的直线ya的距离是_；点P(x0，y0)到与y轴平行的直线xb的距离是d|x0b|.(3)两条平行线间的距离两平行线l1：AxByC10和l2：AxByC20间的距离为d_.d|y0|d|x0|d|y0a|C1C2|A2B2课前热身 1(2010年高考安徽卷)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案：A答案：A2
4、“a1”是“直线xy0和直线xay0互相垂直”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：C3已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于()A.2B2 2C.21 D.21答案：C4(2011年合肥调研)斜率为2，且与直线2xy40的交点恰好在x轴上的直线方程是_5若直线l1：2xmy10与直线l2：y3x1平行，则m_.答案：2xy40答案：23考点探究挑战高考 考点突破 直线的平行与垂直1对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别是k1、k2，有l1l2k1k2.2如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，则它们的斜率之积等于1
5、；反之，如果它们的斜率之积等于1，则它们互相垂直，即l1l2k1k21.3一般地对于两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，平行关系的判断可以归纳为l1l2A1B2A2B10且A1C2A2C10(B1C2B2C10)；垂直关系可以归纳为：l1l2A1A2B1B20.(2011年亳州调研)已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等例1【思路点拨】根据两条直线的位置关系列方程组求解【解】(1)由已知可得 l2 的斜率必存在，k21a.若 k20，则 1a0
6、，a1，l1l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b0.又l1 过点(3，1)，3ab40，即 b3a4(与上述结论矛盾)此种情况不存在，即 k20.若 k20，即 k1、k2 都存在，k21a，k1ab，l1l2，k1k21，即ab(1a)1.又l1 过点(3，1)，3ab40.由联立，解得 a2，b2.(2)l2 的斜率存在，l1l2，直线 l1 的斜率存在，k1k2，即ab1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1l2，l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4bb，联立解得a2，b2 或a23，b2.a2，b2 或 a23，b2.【规律小结】在运用直线的斜截式ykxb时，
7、要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况运用直线的一般式AxByC0时，要特别注意A、B为零时的特殊情况求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方变式训练1 直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解析：选 A.由直线 l 与直线 2x3y40 垂直，可知直线 l 的斜率是32，由点斜式可得直线 l 的方程为 y232(x1)，即 3x2y10.距离问题 应用点到直线的距离公式和两平行线的距离公式处理问题时，
8、直线方程应化为一般式，特别是两平行线距离公式中x、y系数必须相等(1)若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是15 30 45 60 75其中正确答案的序号是_(写出所有正确答案的序号)例2(2)设直线 l1 的参数方程为x1ty13t(t 为参数)，直线 l2 的方程为 y3x4，则 l1 与 l2 间的距离为_【思路点拨】(1)先求出两平行线间的距离，再根据已知就可以求出直线m与这两条平行线的夹角(2)把参数方程通过消去参数化为普通方程【解析】(1)l1l2，根据两平行线间距离公式得两平行线间距离 d|31|2 2.又m 被两条直线截得的线段
9、长度是 2 2，如图，sin22 212，00)，l2：4x2y10 和 l3：xy10，且 l1 与 l2 的距离是710 5.(1)求 a 的值；(2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件：P 是第一象限的点；P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 距离的12；P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是2 5.若能，求 P 点坐标；若不能，说明理由解：(1)l2 即 2xy120，l1 与 l2 的距离 da1222127 510，a125 7 510，a12 72.a0，a3.(2)设点 P(x0，y0)，若 P 点满足条件，则 P 点在与 l1、l2 平行的直线
10、 l：2xyC0 上，且|C3|5 12|C12|5，即 C132 或 C116，2x0y0132 0 或 2x0y0116 0；若 P 点满足条件，由点到直线的距离公式，有|2x0y03|5 25|x0y01|2，即|2x0y03|x0y01|，x02y040 或 3x020；由于 P 在第一象限，3x020 不可能联立方程 2x0y0132 0 和 x02y040，解得 x03，y012，应舍去；由2x0y0116 0，x02y040，解得x019，y03718，P19，3718 即为同时满足三个条件的点对称问题在对称问题中，点关于点的对称是中心对称中最基本的，处理这类问题主要抓住：已知点
11、与对称点连成线段的中点为对称中心；点关于直线对称是轴对称中最基本的，处理这类问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上 已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程【思路点拨】(1)直线l为线段AA的垂直平分线，利用垂直关系，中点坐标公式解方程组求出A点坐标；(2)转化为点关于直线的对称；(3)利用相关点法求l的方程例3【解】(1)设 A(x，y)，再由已知y2x12312x12 3y22 1
12、0，解得x3313y 413，A(3313，413)(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m上设对称点为 M(a，b)，则 2a22 3b02 10b0a2231，解得 M(613，3013)设 m 与 l 的交点为 N，则由2x3y103x2y60，得 N(4,3)又m经过点 N(4,3)，由两点式得直线方程为 9x46y1020.(3)设 P(x，y)为 l上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)，P在直线 l 上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.【名师点评】对于直线的对称问题，都是转化为点
13、关于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的，其中第一种方法通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解，第二种方法则利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲线关于直线对称问题的通法方法感悟 方法技巧1两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意(如例1)2对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称利用坐标转移法(如例3)3熟记点到直线的距离公式，理清两条平行线的距离的含义与求法搞清当且仅当对应系数相等时可直接用|C1C2|A2B2求两平行线间的距离
14、(如例 2)失误防范在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑考情分析 考向瞭望把脉高考 两条直线的位置关系是每年高考的知识点之一，考查重点是两条直线的平行与垂直问题、点到直线的距离、两平行线间的距离以及对称问题题型主要有选择题和填空题，有时在解答题中也有涉及，难度为中、低档，客观题主要考查距离公式的应用和平行与垂直的应用；主观题主要是在知识交汇点处命题，全面考查基本概念、基本运算能力预测2012年高考仍将以两条直线的位置关系、距离公式的应用为主要考点，重点考查运算能力与对概念的理解能力命题探源 例(2009年高考上
15、海卷)已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是()A1或3 B1或5C3或5 D1或2【解析】当 k4 时，直线 l1 的斜率不存在，直线 l2 的斜率为 1，两直线不平行；当 k4 时，两直线平行的一个必要条件是3k4kk3，解得 k3 或 k5，但必须同时满足 1k432(截距不相等)才是充要条件，检验知 k3、k5 均满足这个条件故选 C.【答案】C【名师点评】(1)本题易失误的是：不考虑直线斜率是否存在，直接根据两条直线斜率的关系，得到两条直线垂直或平行的判定，是此类题目产生错误的重要原因由两直线斜率相等，直接得出这两条直线平行的结论，忽略重合
16、的特殊情形，是出错的另一重要原因(2)本题的主要目的是考查两直线的位置关系，属于考查基础的试题，类似题目在各个版本的教材上和以往高考中都不乏其例，教材题如必修2复习题二A组第7题、B组第4题(3)我们比较常用点斜式解决问题，在解题时首先把不能使用点斜式的特殊情况进行讨论，然后把直线方程化为点斜式的形式进行解决如本题我们就是先对直线l1当k4不能化为点斜式时进行了讨论，然后通过点斜式解决的名师预测 1已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a等于()A2 B1C0 D1解析：选D.法一：将选项分别代入题干中观察易得出D符合要求法二：直线yax2和y(a2)x1互相垂直，a(a2)1.a1.故选D.2点(5,5)到直线 x2y50 的距离为()A5 B3 5C2 5D.5解析：选 C.由题意得，点(5,5)到直线 x2y50 的距离等于|5255|12222 5.故选 C.3与 A(1，1)，B(2,2)距离相等且等于3 22的直线的条数为_条解析：共有3条，其中两条与AB所在的直线平行，一条过AB的中点与AB所在的直线垂直 答案：3 4已知直线l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，则l1l2的充要条件是a_.解析：由13aa2，12a6a2，得 a1(a3 舍去)答案：1本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
