1、第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 学 习 目 标 核 心 素 养 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义(重点、难点)2会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件(重点)3能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明(难点)1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养2借助充要条件的应用，培养数学运算素养.情 景 导 学 探 新 知 观察如图所示电路图，条件p：“开关A闭合”，结论q：“灯泡B亮”问题：(1)当开关A闭合时，灯泡B一定会亮吗？说明了什么？(2)如果“灯泡B”不亮，“开关A可以闭合”吗？提示：(1)一定会亮，说明要使“灯泡
2、B亮”，有“开关A闭合”这个条件就可以(2)如果“灯泡B不亮”，则开关A肯定不闭合1充分条件与必要条件 命题真假“若 p，则 q”是真命题“若 p，则 q”是假命题 推出关系P qp q 条件关系p 是 q 的条件q 是 p 的条件p 不是 q 的条件q 不是 p 的条件 充分充分必要必要思考 1：(1)p 是 q 的充分条件与 q 是 p 的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：pq；p 是 q 的充分条件；q 的充分条件是 p；q 是 p 的必要条件；p 的必要条件是 q.这五种表述形式等价吗？提示：(1)相同，都是 pq.(2)等价 2充要条件(1)一般地，如果既有
3、pq，又有 qp，就记作 pq.此时，我们说，p 是 q 的条件，简称条件概括地说，如果 pq，那么 p 与 q条件(2)若 pq，但 qp，则称 p 是 q 的充分不必要条件(3)若 qp，但 pq，则称 p 是 q 的必要不充分条件(4)若 pq，且 qp，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件充分必要充要互为充要思考 2：(1)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p 是 q 的充要条件”与“p 的充要条件是 q”的区别在哪里？提示：(1)正确若 p 是 q 的充要条件，则 pq，即 p 等价于 q.(2)p 是 q 的充要条件说明
4、 p 是条件，q 是结论 p 的充要条件是 q 说明 q 是条件，p 是结论1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件()(2)q 不是 p 的必要条件时，“pq”成立()(3)若 q 是 p 的必要条件，则 q 成立，p 也成立()答案(1)(2)(3)2设 x，yR，则“x2 且 y2”是“x2y24”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件A 因为 x2 且 y2x2y24,x2y24x2 且 y2，如x2，y1，所以“x2 且 y2”是“x2y24”的充分不必要条件3“同位角相等”是“两直线平行”的
5、()A充分不必要条件B必要不充分条件C既是充分条件，也是必要条件D既不充分也不必要条件C“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，同位角相等”都是真命题4两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的_条件必要不充分 全等的两个三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等合 作 探 究 释 疑 难 充分条件、必要条件的判断【例 1】指出下列各题中 p 是 q 的什么条件(1)p：x30，q：(x2)(x3)0.(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等(3)p：ab，q：acbc.解(1)x30(x2)(x3)0，但(x2)(x3)0 x30，故 p 是 q 的充分不必要条件(2)两个三角形
6、相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，故 p 是 q 的必要不充分条件(3)abacbc，且 acbcab，故 p 是 q 的既不充分也不必要条件定义法判断充分条件、必要条件 1确定谁是条件，谁是结论.2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.跟进训练1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形(2)p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解(1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的
7、对角线相等，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件(2)因为(x1)2(y2)20 x1 且 y2(x1)(y2)0，而(x1)(y2)0(x1)2(y2)20，所以 p 是 q 的充分不必要条件充分条件、必要条件、充要条件的应用 探究问题1记集合 Ax|p(x)，Bx|q(x)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则集合 A，B 的关系是什么？若 p 是 q 的必要不充分条件呢？提示：若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A B；若 p 是 q 的必要不充分条件，则 B A.2记集合 Mx|p(x)，Nx|q(x)，若 MN，则 p 是 q 的什么条件？若 NM，MN 呢？提示：若 MN，则
8、 p 是 q 的充分条件，若 NM，则 p 是 q 的必要条件，若 MN，则 p 是 q 的充要条件【例 2】已知 p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为_思路点拨 m|m9 因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 pq 且 qp.即x|2x10是x|1mx1m，m0的真子集，所以m0，1m0，1m10，解得 m9.所以实数 m 的取值范围为m|m91本例中“p 是 q 的充分不必要条件”改为“p 是 q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求 m 的取值范围解 因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以 qp，且 pq.则x|1mx1m
9、，m0 x|2x10，所以m0，1m21m10，解得 0m3.即 m 的取值范围是m|0m32若本例题改为：已知Px|a4xa4，Qx|1x0”是“x0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件A 由“x0”“x0”，反之不一定成立因此“x0”是“x0”的充分不必要条件2设p：x3，q：1x3，则p是q成立的()A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件C 因为x|1x3 x|x3，所以 p 是 q 成立的必要不充分条件3已知p：“x2”，q：“x2 2x”，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不
10、必要条件C 由 q：“x2 2x”，解得 x1(舍去)或 x2，由 p 可推出 q，充分性成立，反之，由 q 可推出 p，即必要性成立 所以 p 是 q 的充分必要条件4函数 yx2mx1 的图象关于直线 x1 对称的充要条件是_m2 函数 yx2mx1 的图象关于直线 x1 对称，则m21，即 m2；反之，若 m2，则 yx22x1 的图象关于直线 x1 对称5已知 p：实数 x 满足 3axa，其中 a0；q：实数 x 满足2x3.若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围解 由 p：3axa，即集合 Ax|3axa q：2x3，即集合 Bx|2x3 因为 pq，所以 AB，所以3a2，a3，a0，即23a0，所以 a 的取值范围是a23a0.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
