1、第 2 课时 空间向量的数量积 课后训练案巩固提升A 组1.下列命题中正确的是()A.(ab)2=a2b2B.|ab|a|b|C.(ab)c=a(bc)D.若 a(b-c),则 ab=ac=0解析:对于 A 项,左边=|a|2|b|2cos2,右边=|a|2|b|2,左边右边,故 A 错误.对于 C 项,数量积不满足结合律,C 错误.在 D 中,a(b-c)=0,ab-ac=0,ab=ac,但 ab 与 ac 不一定等于零,故 D 错误.对于 B 项,ab=|a|b|cos,-1cos1,|ab|a|b|,故 B 正确.答案:B2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a,点 E,F,G
2、 分别是 AB,AD,DC 的中点,则下列向量的数量积等于 a2的是()A.2 B.2 C.2 D.2 解析:2 =-a2,故 A 错;2 =-a2,故 B 错;2 =-a2,故 D 错;2 =a2,故只有 C 正确.答案:C3.如图,已知 PA平面 ABC,ABC=120,PA=AB=BC=1,则 PC 等于()A.B.1C.2D.4解析:,+2 =1+1+1+21cos 60=4,|=2.答案:C4.已知 a,b 是两个非零向量,现给出以下命题:ab0 );ab=0=;ab0(;|ab|=|a|b|=.其中正确的命题有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解析:利用向量数量积公式可对
3、以上四个命题的真假作出判断.a,b 为非零向量,|a|0,|b|0.又ab=|a|b|cos,且 0,于是 ab0cos0 );ab=0cos=0=;ab0cos0(.因此,命题均为真命题.|ab|=|a|b|cos|=1=0 或,|ab|=|a|b|=不正确,即命题为假命题.故选 C.答案:C5.若|a|=|b|,且非零向量 a,b 不平行,则 a+b 与 a-b 所在直线所形成的角的大小是 .解析:如图,作 =a,=b,以 为邻边作OACB,则 =a+b,=a-b.又|a|=|b|,四边形 OACB 为菱形,故 a+b 与 a-b 的夹角为 .答案:6.导学号 90074024 已知|a+
4、b|=2,|a-b|=3,且 cos=,则|a|=,|b|=.解析:由|a+b|=2,知 a2+2ab+b2=4.由|a-b|=3,知 a2-2ab+b2=9.故 2a2+2b2=13,则|a|2+|b|2=.由 cos=-,得|a|2-|b|2=.由,得|a|=2,|b|=.答案:2 7.已知 a,b,c 中每两个的夹角都是 ,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,试计算|a+b+c|.解|a|=4,|b|=6,|c|=2,且=,|a+b+c|2=(a+b+c)(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2ac+2bc=|a|2+|b|2+|c|2+2|a|b|cos+2|a|c|
5、cos+2|b|c|cos=42+62+22+46+42+62=100,|a+b+c|=10.8.如图,在四面体 A-BCD 中,AB=2,BC=3,BD=2,CD=3,ABD=30,ABC=60,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值.解 ,=|cos-|cos=22 cos 150-23cos120=-6+3=-3,cos=-=-,AB 与 CD 的夹角的余弦值为 .9.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,若侧面对角线 AB1BC1,求证:A1CAB1.证明由题意,设 =a,=b,=c,|a|=|b|=m,|c|=n,则 ab=m2cos 60=,ac=bc=0.AB1BC1,且 =-a
6、+c,=b+c,=(-a+c)(b+c)=-ab+c2=n2-m2=0,即 m2=2n2,=(-a+c)()=(-a+c)(-c-a+b)=a2-c2-ab=m2-n2-m2=0,A1CAB1.B 组1.设 a,b,c 是任意的非零向量,且它们相互不共线,下列命题:(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(ba)c-(ac)b 不与 c 垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.B.C.D.解析:根据向量的数量积运算,结合模及向量垂直的性质知不正确,正确.答案:D2.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,BA
7、D=90,BAA1=DAA1=60,则 AC1的长为()A.B.C.D.解析:,|=.AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,=90,=60.|=.答案:B3.设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 =0,则BCD 为()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定解析:,cos=0,为锐角,同理 cos 0,BCD 为锐角,cos0,BDC 为锐角,即BCD 为锐角三角形.答案:B4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,O 为 AC 与 BD 的交点,G 为 CC1的中点,用向量法证明:A1O平面 GBD.证明设 =a,=b,=c,则
8、 ab=0,bc=0,ac=0.而 )=c+(a+b),=b-a,)+(a+b)-c,所以 ()(b-a)=c(b-a)+(a+b)(b-a)=cb-ca+(|b|2-|a|2)=(|b|2-|a|2)=0.所以 .所以 A1OBD.同理可证 ,所以 A1OOG.又因为 OGBD=O,且 A1O平面 GBD,所以 A1O平面 GBD.5.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,A1AB=A1AD=BAD=60,AA1=AB=AD=.(1)求|;(2)求证:AC1平面 A1BD;(3)求 与 的夹角.(1)解令 =a,=b,=c,则 =a+b+c,|=|a+b+c|=(a2+b2+c2+2a
9、b+2bc+2ca =(+2 +2 )=3.(2)证明 =a-c,=(a+b+c)(a-c)=a2-ac+ba-bc+ca-c2=0.,又 =b-c,同理 ,AC1垂直于平面 A1BD 内的两条相交直线 A1D,A1B,AC1平面 A1BD.(3)解 cos=-=-.与 的夹角为-arccos .6.导学号 90074025 如图,正方形 ABCD 与正方形 ABEF 的边长均为 1,且平面 ABCD平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动.若 CM=BN=a(0a).(1)求 MN 的长度;(2)求当 a 为何值时,MN 的长最小.解(1)由题意,得 AC=,BF=,CM=BN=a,(-)(-).=(-)(-)=(-)+(-)=(-)-(-)(-)=(-).|=|(-)-|=(-)-(-)=(-)(0a).(2)由(1),知当 a=时,|有最小值为 ,即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时,MN 的长最小,且最小值为 .
