1、(11)等差数列和等比数列知识梳理 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，。2.数列的表示方法（1）通项公式法 （2）图象法（3）递推公式法（4）列表法3.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，n）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数,如果（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列、，4数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的
2、数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列5.等差数列和等比数列等差数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列，就叫等差数列。即一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列，就叫等比数列。即通项公式前n项和公式性质增，减增或减或两个等差数列与的和或差仍为等差数列等差数列的任
3、意连续项的和构成的数列，仍为等差数列。若是公差为的等差数列，则其子数列，也是等差数列，且公差为，也是等差数列，且公差为 典例剖析【例1】已知等差数列满足：，。（1）求数列的通项；（2）设数列的通项，记是数列的前项和，若时，有恒成立，求的最大值。解：【例2】已知数列an中，a1=，a2=并且数列log2（a2），log2（a3），log2（an+1）是公差为1的等差数列，而a2，a3，an+1是公比为的等比数列，求数列an的通项公式.【例3】 已知数列an的前n项和Sn=12nn2，求数列|an|的前n项和Tn.【例4】.数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+22an+1+an=0（nN*
4、）.（1）求数列an的通项公式.（2）设bn=（nN*），Sn=b1+b2+bn，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有Sn总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由.闯关训练1、（2011年天津理4）已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为（ ）A-110 B-90 C90 D1102、（2011年四川理8）数列的首项为3，为等差数列且若则，则（ ）A0 B3 C8 D113（2011年全国大纲理4）设为等差数列的前项和，若，公差，则（ ）A8 B7 C6 D54（2011年江西理5） 已知数列的前n项和满足：，且那么=（ ）A1 B9 C10 D555、等差数列a
5、n中，公差那么使前项和最大的值为（ ）A、5 B、6 C、 5 或6 D、 6或76、等差数列的前项和，已知则（ ）A1BC2D7、若两个等差数列an、bn的前n项和分别为An 、Bn，且满足，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）8、已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ）A、1 B、 C、 D、9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100，最大角为140，这个凸多边形的边数为（ ）A6 B C10 D1210、若是等比数列,前n项和,则（ ） A. B. C. D.11、数列an前n项和是Sn，如果Sn32an（nN*），则这个数列是（ ）A等比数列 B等差数列
6、C除去第一项是等比 D除去最后一项为等差12、等比数列中,a5a6=9,则( )A.12 B.10 C.8 D.13、在9和3之间插入n个数，使这n2个数组成和为21的等差数列，则n_14、在等差数列an中，已知则n_15、已知数列满足，=1，则= 16、已知则17、（2010课标全国高考）设等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的序号的值。18、有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数。解：19、数列中，且满足（1）求数列的通项公式； （2）设，求。20、已知数列中，=2，（1）求；
7、（2）令，求数列的前n项和解：21、（2011全国新课标理17）已知等比数列的各项均为正数，且，（I）求数列的通项公式（II）设，求数列的前n项和22、（本小题满分12分）（2011年福建理16）已知等比数列的公比q=3，前3项和。（I）求数列的通项公式；（II）若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式。 (11)等差数列和等比数列（教师版）知识梳理 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，。2.数列的表示方法（1）通项公式法 （2）图象法（3）递推公式法（4）列表法3.数列与函数的关系：
8、数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，n）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)，4数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列
9、。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列5.等差数列和等比数列等差数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列，就叫等差数列。即一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列，就叫等比数列。即通项公式前n项和公式性质等和（积）性单调性增，减增或减或两个等差数列与的和或差仍为等差数列等差数列的任意连续项的和构成的数列，仍为等差数列。若是公差为的等差数列，则其子数列，也是等差数列，且公差为，也是等差数列，且公差为点击双基1(2008全国卷理5)已知等差数列满足，则它的前10项的
10、和等于（ C ）A.138 B 135C 95 D 232 在等差数列中，若，则的值为（ A ）A B C D 3 在等比数列中，若，且则为（ D ）A B C D 或或4等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则其中间项为（ B ）. A. 28 B. 29 C. 30 D.315 在等差数列中，则为（ A ）A B C D 6 已知等差数列项和为等于（ C ）A B C D 典例剖析【例1】已知等差数列满足：，。（1）求数列的通项；（2）设数列的通项，记是数列的前项和，若时，有恒成立，求的最大值。解：（1）（2），数列是递增数列，当时，依题意，的最大值为。【例2】已知数列an中，a
11、1=，a2=并且数列log2（a2），log2（a3），log2（an+1）是公差为1的等差数列，而a2，a3，an+1是公比为的等比数列，求数列an的通项公式.分析：由数列log2（an+1）为等差数列及等差数列的通项公式，可求出an+1与an的一个递推关系式；由数列an+1为等比数列及等比数列的通项公式，可求出an+1与an的另一个递推关系式.解两个关系式的方程组，即可求出an.解：数列log2（an+1）是公差为1的等差数列，log2（an+1）=log2（a2a1）+（n1）（1）=log2（）n+1=（n+1），于是有an+1=2（n+1）. 又数列an+1an是公比为的等比数列，a
12、n+1an=（a2a1）3（n1）=（）3（n1）=3（n+1）.于是有an+1an=3（n+1）. 由可得an=2（n+1）3（n+1），an=.【例3】 已知数列an的前n项和Sn=12nn2，求数列|an|的前n项和Tn.剖析：由Sn=12nn2知Sn是关于n的无常数项的二次函数（nN*），可知an为等差数列，求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.解：当n=1时，a1=S1=1212=11；当n2时，an=SnSn1=12nn212（n1）（n1）2=132n.n=1时适合上式，an的通项公式为an=132n.由an=132n0，得n，即当 1n6（nN*）时，an0
13、；当n7时，an0.（1）当 1n6（nN*）时，Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=12nn2.（2）当n7（nN*）时，Tn=|a1|+|a2|+|an|=（a1+a2+a6）（a7+a8+an）=（a1+a2+an）+2（a1+a6）=Sn+2S6=n212n+72.Tn= 【例4】.数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+22an+1+an=0（nN*）.（1）求数列an的通项公式.（2）设bn=（nN*），Sn=b1+b2+bn，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有Sn总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由.解：（1）an+22an+1+an=0，an+
14、2an+1=an+1an（nN*）.an是等差数列.设公差为d，又a1=8，a4=a1+3d=8+3d=2，d=2.an=2n+10.（2）bn=（），Sn=b1+b2+bn=（1）+（）+（）=（1）=.假设存在整数m满足Sn总成立.又Sn+1Sn=0，数列Sn是单调递增的.S1=为Sn的最小值，故，即m8.又mN*，适合条件的m的最大值为7.闯关训练一、选择题1、（2011年天津理4）已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为（ ）A-110 B-90 C90 D110【答案】D2、（2011年四川理8）数列的首项为3，为等差数列且若则，则（ ）A0 B3 C8 D1
15、1【答案】B【解析】由已知知由叠加法3（2011年全国大纲理4）设为等差数列的前项和，若，公差，则（ ）A8 B7 C6 D5【答案】D4（江西理5） 已知数列的前n项和满足：，且那么=（ ）A1 B9 C10 D55【答案】A5、等差数列an中，公差那么使前项和最大的值为（ C ）A、5 B、6 C、 5 或6 D、 6或76、等差数列的前项和，已知则（ A ）A1BC2D7、若两个等差数列an、bn的前n项和分别为An 、Bn，且满足，则的值为（A ）（A） （B） （C） （D）8、已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ C ）A、1 B、 C、 D、9、若一个凸多边形的内角度数
16、成等差数列，最小角为100，最大角为140，这个凸多边形的边数为（ A ）A6 B C10 D1210、若是等比数列,前n项和,则（ D ） A. B. C. D.11、数列an前n项和是Sn，如果Sn32an（nN*），则这个数列是（ A ）A等比数列 B等差数列 C除去第一项是等比 D除去最后一项为等差12、等比数列中,a5a6=9,则( B )A.12 B.10 C.8 D.二、填空题（每小题5分,共20分）13、在9和3之间插入n个数，使这n2个数组成和为21的等差数列，则n_514、在等差数列an中，已知则n_1015、已知数列满足，=1，则= 16、已知则4015三、解答题（共70
17、分）17、（2010课标全国高考）设等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的序号的值。解：（1），所以，数列的通项公式为。（2），所以，当时，取得最大值。18、有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数。解：设后三个数分别为：、（为公比），则第一个数为，由已知有，化简得，解得或。当时，求得；。当时，求得；故这四个数分别为：、或12、16、20、25.19、数列中，且满足（1）求数列的通项公式； （2）设，求。20、已知数列中，=2，（1）求；（2）令，求数列的前n项和解：21、（2011
18、全国新课标理17）已知等比数列的各项均为正数，且，（I）求数列的通项公式（II）设，求数列的前n项和解：（）设数列an的公比为q，由得所以由条件可知c0，故由得，所以故数列an的通项式为an=（）故所以数列的前n项和为22、（本小题满分12分）（2011年福建理16）已知等比数列的公比q=3，前3项和。（I）求数列的通项公式；（II）若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式。本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。 解：（I）由解得所以（II）由（I）可知因为函数的最大值为3，所以A=3。因为当时取得最大值，所以又所以函数的解析式为
