1、专题四 数 列 高考领航摸清规律 预测考情(大纲卷)T18(等差数列求和)解题必备 解题方略 限时规范训练 走进高考 考点一 等差数列、等比数列 1等差、等比数列的性质等差数列等比数列 性质(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anam(nm)d；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sn0)2.前n项和公式变形(1)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列；Snmqnm(m为常数，m0，q0)an是等
2、比数列；(2)等差数列中Sn和an的关系：Snna1an2，即an2Snn a1，等比数列中Sn与an的关系为Sna1anq1q，即anqa1(1q)Sn.3关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质(1)若项数为2n，则S偶S奇nd，S奇S偶 anan1；(2)若项数为2n1，则S偶(n1)an，S奇nan，S奇S偶an，S奇S偶 nn1；(3)两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间的关系为anbnS2n1T2n1.小题速解不拘一格 优化方法类型一 等差数列的运算典例1(1)(2016高考全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100B99C98D97C解析：通
3、解：an是等差数列，设其公差为d，由题意得S99a1982 d27a10a19d8，a11，d1.a100a199d199198，选C.优解：设等差数列an的公差为d，因为an为等差数列，且S99a527，所以a53.又a108，解得5da10a55，所以d1，所以a100a595d98，选C.(2)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5B7C9D11A解析：通解：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1542 d5(a12d)5，故选A.优解：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a1a525a35，故选A.1通解是
4、寻求a1与d的关系，然后用公式求和优解法是利用等差中项性质转化求和公式2在等差数列中，当已知a1和d时，用Snna1 nn12d求和当已知a1和an或者a1ana2an1形式时，常用Sn a1ann2a2an1n2求解自我挑战1若数列an满足 1an1 1and(nN*，d 为常数)，则称数列an为调和数列，已知数列1xn 为调和数列，且 x1x2x20200，则 x5x16()A10B20C30D40B解析：选B.数列1xn 为调和数列，11xn111xnxn1xnd，xn是等差数列，x1x2x2020020 x1x202，x1x2020，又x1x20 x5x16，x5x1620.2已知等差
5、数列an的前n项和为Sn，若S101，S305，则S40()A7B8C9D10B解析：选B.根据等差数列的性质，知S10，S20S10，S30S20，S40S30构成等差数列，所以(S20S10)(S30S20)S10(S40S30)，即S30S10S40S30S10，所以S402S302S108.类型二 等比数列的运算典例2(1)(2016高考全国卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_解析：通解：求a1a2an关于n的表达式 a2a4a1a3a1a3qa1a3 510，q12 a1a112210，a18 a1a2a3anan1qnn128n12nn122n
6、27n2 当n3或n4时，n27n2最大为6.a1a2an的最大值为2664 优解：利用数列的单调变化 设an的公比为q，由a1a310，a2a45得a18，q12，则a24，a32，a41，a512，所以a1a2ana1a2a3a464.答案：64(2)已知等比数列an满足a114，a3a54(a41)，则a2()A2B1C.12D.18C解析：通解：a3a1q2，a4a1q3，a5a1q4，a21q64(a1q31)a114，q616q3640，q38，q2，a2a1q12.优解：设an的公比为q，由等比数列的性质 可知a3a5a24，a244(a41)，即(a42)20，得a42，则q3
7、a4a12148，得q2，则a2a1q14212，故选C.1解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解2运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题自我挑战3等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前 8 项和等于()A6B5C4D3C解析：选C.由题意知a1a8a2a7a3a6a4a510，数列lg an的前8项和等于lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a4a5)44lg(a4a5)4lg 104.故选C.4已知等比数列an的各项都是正数，且 3a1，12a3,2a
8、2 成等差数列，则a8a9a6a7()A6B7C8D9D解析：选D.3a1，12a3,2a2成等差数列，a33a12a2，q22q30，q3或q1(舍去)a8a9a6a7q2a6a7a6a7 q2329.故选D.大题规范学会踩点 规范解答 类型三 数列递推关系的应用典例3(2016高考全国卷)(本小题满分12分)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2 13，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式(2)求bn的前n项和规范解答：(1)因为anbn1bn1nbn，所以a1b2b2b1，解得a12.2分 得分点 又an是公差为3的等差数列，所以ana1(n1)d2(n1)33
9、n1，即通项公式为an3n1.6分 得分点 (2)由anbn1bn1nbn得bn1bn 13，8分 得分点 所以数列bn是首项b11，公比q13的等比数列，9分 得分点 所以数列bn的前n项和为Sn113n113 11分 得分点 321231n.12分 得分点 评分细则及说明：正确求出a1的值得2分；根据等差数列的通项公式求出通项得4分，通项公式使用错误不得分 求出bn1bn 13得2分；判断出数列bn为等比数列得1分；正确写出前n项和得2分；正确求出前n项和得1分 判断和证明数列是等差(比)数列的方法1定义法：对于n1的任意自然数，验证an1an 或an1an为与正整数n无关的一常数 2中项
10、公式法：(1)若2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列；(2)若a2nan1an1(nN*，n2)，则an为等比数列自我挑战5.已知等差数列an的公差 d0，an的部分项 ak1，ak2，akn构成等比数列，若 k11，k25，k317，求 kn.解：设等比数列ak1，ak2，akn的公比为q，因为k11，k25，k317，所以a1a17a25，即a1(a116d)(a14d)2，化简得a1d2d2.又d0，得a12d，所以qa5a1a14da12d4d2d3.一方面，akn作为等差数列an的第kn项，有akna1(kn1)d2d(kn1)d(kn1)d，另一方面，akn作为等比
11、数列的第n项，有aknak1qn1a13n12d3n1，所以(kn1)d2d3n1.又d0，所以kn23n11.1(2017高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2C4D8C解析：通解：选C.设an的公差为d，则 由a4a524，S648，得a13da14d24，6a1652 d48，解得d4.故选C.优解：由S648得a4a316，(a4a5)(a4a3)8，d4，故选C.2(2017高考全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24B3C3D8解析：选A.由已知条件可得a11，d
12、0，由a23a2a6可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S661652224.故选A.A3(2017高考全国卷)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.解析：设等比数列an的公比为q，a1a21，a1a33，a1(1q)1，a1(1q2)3.，得1q3，q2.a11，a4a1q31(2)38.答案：84(2017高考全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解：(1)设an的公比为q.由题设可得 a11q2，a11qq26.解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得 Sn212n1223(1)n2n13.由于Sn2Sn143(1)n2n32n23 2231n2n132Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列点击进入word版：限时规范训练把握高考微点，实现素能提升
