1、2.1.2椭圆的几何性质(一)学 习 目 标核 心 素 养1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形(重点、难点)1.由椭圆的标准方程与性质之间的互求，培养学生的数学运算素养.2.通过对求椭圆离心率的探究，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)范围xa，a，yb，bxb，b，ya，a顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,
2、0)，B2(b,0)轴长短轴|B1B2|2b，长轴|A1A2|2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c离心率e(0e1)思考1：椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？提示最大距离：ac；最小距离：ac.思考2：椭圆方程1(ab0)中a，b，c的几何意义是什么？提示在方程1(ab0)中，a，b，c的几何意义如图所示即a，b，c正好组成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形1若椭圆y21(a0)的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()A BC.D.A由a2b2，b1得c，e.2椭圆6x2y26的长轴端点坐
3、标为()A(1,0)(1,0)B(6,0)，(6,0)C(，0)，(，0)D(0，)，(0，)Dx21焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，)，(0，)3椭圆x24y24的离心率为()A B C.D.Ay21，a2，b1，c，e.由椭圆方程求椭圆的几何性质【例1】求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标思路探究化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质解把已知方程化成标准方程1，可知a5，b4，所以c3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a10和2b8，离心率e，两个焦点分别是F1(3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(5,0)，A2(
4、5,0)，B1(0，4)和B2(0,4)解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.1求椭圆9x2y281的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解椭圆的标准方程为1，则a9，b3，c6，长轴长2a18，短轴长2b6，焦点坐标为(0,6)，(0，6)，顶点坐标(0,9)，(0，9)，(3,0)，(3,0)，离心率e.由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.思路探究先
5、判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.解(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a10，a5.e，c4.b2a2c225169.椭圆方程为1或1.(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1.利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的方程，解方程(组)求得参数.提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、
6、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距.2求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8.(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解(1)由题意知，2c8，c4，e，a8，从而b2a2c248，椭圆的标准方程是1.(2)由已知得从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.求椭圆的离心率探究问题1求椭圆离心率的关键是什么？提示根据e，a2b2c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系2a，b，c对椭圆形状有何影响？提示(1)e.(2)【例3】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线
7、交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率思路探究由题设求得A，B点坐标，根据ABF2是正三角形得出a，b，c的关系，从而求出离心率解设椭圆的方程为1(ab0)，焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)依题意设A点坐标为，则B点坐标为，所以|AB|.由ABF2是正三角形得2c，即b22ac，又b2a2c2，a2c22ac0，两边同除以a2得20，解得e.1(变换条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若AF1F2为正三角形”如何求椭圆的离心率？解设椭圆的方程为1(ab0)，焦点
8、坐标为F1(c,0)，F2(c,0)，设A点坐标为(0，y0)(y00)，则B点坐标为，B点在椭圆上，1，解得y4b2，由AF1F2为正三角形得4b23c2，即c48a2c24a40，两边同除以a4得e48e240，解得e1.2(变换条件)“若ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率解设椭圆方程为1(ab0)，F1(c,0)，F2(c,0)，由题意知A在椭圆上，1，解得e.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a和c，再求e，也可利用e求解.(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就
9、变成了关于离心率e的方程，进而求解.1思考辨析(1)椭圆离心率越大，椭圆越圆()(2)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等()(3)已知椭圆1的离心率e，则k的值为4或.()提示(1)离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆(2)(3)由e21，又因椭圆的焦点在x轴或在y轴上，所以有两个值当k1时，焦点在x轴上，a2k8，c2k1，又e，所以，解得：k4；当k1时，焦点在y轴上，a29，c21k，又e，所以，解得k.2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A1B1 C1 D1Dc1，由e得a2，由b2a2c2得b23.所以椭圆方程为1.3椭圆1的离心率为()ABCDDa216，b28，c28.从而e.4已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为_1由题意知ac3，ac1，解得a2，c1，则b23.又焦点在x轴上，椭圆C的标准方程为1.5求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解已知方程化成标准方程为1，于是a4，b3，c，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e，又知焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是(，0)和(，0)，四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3)
