1、5.2.3简单复合函数的导数学 习 任 务核 心 素 养1了解复合函数的概念(易混点)2理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点)1通过对复合函数求导公式的学习，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养2借助对复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升数学运算的核心素养海上一艘油轮发生了泄漏事故泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：Sf(r)r2油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数为r(t)2t1思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？知识点1复合函数的概念由基本初等
2、函数复合而成的函数，称为复合函数 函数ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？提示函数ylog2(x1)是由ylog2u及ux1两个函数复合而成的知识点2复合函数的求导法则若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ysin(x)的复合过程是ysin u，ux()(2)f(x)ln(3x1)，则f(x)()(3)f(x)x2cos 2x，则f(x)2xcos 2x2x2sin 2x()提示(2)中f(x)(3)中，f(x)2xcos 2x2x2sin 2x答案(1)(2)(3)2函数y的导数是()A BCDCy，y2(3x1)3下列对
3、函数的求导正确的是()Ay(12x)3，则y3(12x)2Bylog2(2x1)，则yCycos ，则ysin Dy22x1，则y22xln 2DA中，y6(12x)2，A错误；B中，y，B错误；C中，ysin ，C错误；D中y22x1ln 2(2x1)22xln 2故D正确 类型1复合函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)y解(1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1(2)函数y可看作函数yu3和u2x1的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u46(2x1)4(3)
4、函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，yxyuux(5log2u)(1x)(4)(ln 3x)(3x) y1解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成2复合函数求导的步骤跟进训练1求下列函数的导数：(1)y103x2；(2)yln(exx2)；(3)yx解(1)令u3x2，则y10u所以yxyuux10uln 10(3x2)3103x2ln 10(2)令uexx2，则yln uyxyuux(exx2)(3)y(x)x() 类型2三角函数型函数的导数【例2】求下列函数的导数：(1)
5、ycos；(2)yx2tan x解(1)ycoscossincos2sin x(1cos x)(sin xcos x)，y(sin xcos x)(cos xsin x)(2)因为yx2，所以y(x2)2x2x三角函数型函数的求导要求对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导跟进训练2求下列函数的导数：(1)ysin2；(2)ysin3xsin x3；(3)ycos4xsin4x解(1)y，ysin x(2)y(sin3xsin x3)(sin
6、3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3(3)ycos4xsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)cos 2x，y(cos 2x)2sin 2x 类型3导数运算法则的综合应用【例3】(1)曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()AB2C3D0(2)设曲线yeax在点(0，1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_思路探究(1)(2)(1)A(2)2(1)设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行y，y|xx02，解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1，0)切点(1
7、，0)到直线2xy 30的距离为d，即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是(2)令yf(x)，则曲线yeax在点(0，1)处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10垂直，所以f(0)2因为f(x)eax，所以f(x)(eax)eax(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a21(变条件)本例(1)的条件变为“曲线yln(2x1)上的点到直线2xym0的最小距离为2”，求m的值解由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y|xx02，x01，即切点P(1，0)，2，解得m8或12即实数m的值为8或122(变条件、变结论)把本例(1)条件变为“若直线ykxb是yln x2的切
8、线，也是yln(x1)的切线”，求b的值解函数yln x2的导函数为y，函数yln(x1)的导函数为y设曲线yln x2和曲线yln(x1)上的切点横坐标分别为m，n，则该直线方程可以写成y(xm)ln m2，也可以写成y(xn)ln(n1)整理后对比得解得因此b1ln 2利用导数的几何意义解题时的注意点(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件(4)与曲线只有一个公
9、共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个1函数y(x21)n的复合过程正确的是()Ayun，ux21By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)nDy(t1)n，tx21答案A2函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2xBy(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x3已知f(x)ln(3x1)，则f(1)_f(x)(3x1)，f(1)4已知f(x)xex，则f(x)在x2处的切线斜率是_f(x)xex，f(x)exxex(1x)ex，f(2)根据导数的几何意义知f(x)在x2处的切线斜率为kf(2)5求下列函数的导数：(1)ye2x；(2)y(13x)3解(1)ye2x(2x)e2x22e2x(2)y3(13x)2(13x)9(13x)2或y81x254x9回顾本节知识，自我完成以下问题：1复合函数的求导法则是什么？提示若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua2求复合函数的导数需要注意什么？提示分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁
