1、专题三十九 统计与统计案例 考点92 考点93 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92随机抽样与样本估计总体 1.(2017课标,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【答案】A 由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.考点92 考点93 试
2、做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 2.(2016课标,理4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15,B点表示四月的平均最低气温约为5.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 的月份有5个 考点92 考点93 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练【答案】D 由题图可知,0 在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20 的月份有3个,分别
3、为六月、七月、八月,D错误.故选D.考点92 考点93 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 3.(2013课标,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样D.系统抽样【答案】C 因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.考点92 考点93 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 4.(2015课标,理18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B
4、两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);考点92 考点93 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分 低于 70
5、 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.考点92 考点93 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练【解】(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.考点92 考点93 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为
6、满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据得 CA1,CA2,CB1,CB2 发生的频率分别为1620,420,1020,820,故 P(CA1)=1620,P(CA2)=420,P(CB1)=1020,P(CB2)=820,P(C
7、)=1020 1620+820 420=0.48.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 1.三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等,均属于不放回抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少 系统抽样 将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取 在起始部分抽样时,采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层抽样 将总体分成几层,分层进行抽样 各层抽样时,采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 2.频率分布直方图的性质(1)
8、小长方形的面积=_.(2)各小长方形的面积之和等于1.组距频率组距=频率(3)小长方形的高=频率组距,所有小长方形的高的和为1组距.3.茎叶图(1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.(2)茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 4.众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据
9、按大小依次排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分为左、右两个面积相等的分界线与 x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 5.方差和标准差方差和标准差反映了数据波动程度的大小.方差:s2=1(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,标准差:s=1(1-)2+(2-)2+(-)2.6.关于平均数、方差的有关性质(1)若 x1,x2,xn 的平均数为,则 mx1+a,mx2+a,mxn+a 的平均数为 m+a.(2)数据 x1,x2,xn 与数据
10、x1=x1+a,x2=x2+a,xn=xn+a 的方差相等,即数据经过“平移”后方差不变.(3)若 x1,x2,xn 的方差为 s2,则 ax1+b,ax2+b,axn+b 的方差为a2s2.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 7.平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越波动;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 典例导引1(1)某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生
11、从1到800进行编号.已知从3348这16个数中抽到的数是39,则在第1小组116中随机抽到的数是()A.5B.7C.11 D.13(2)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556,则应从一年级本科生中抽取_名学生.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93【解析】(1)把800名学生分成50组,每组16人,各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列,39在第3组,所以第1小组抽到的数为39-32=7,故选B.(2)根据题意
12、,应从一年级本科生中抽取的学生人数为 44+5+5+6300=60.【答案】(1)B(2)60 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 高招1抽样方法中的计算问题类型 解 读 典例指引 系统抽样中的计算问题 系统抽样中被抽取的个体相邻的两个样本编号的间距相等,据此,若有 n 个总体,从中抽取m 个个体,确定抽样间距时,若 nm为整数,则抽样间距为 nm;否则,一般先剔除几个个体,使得 nm为整数,抽样间距一般为不大于 nm的最大整数 典例导引 1(1)分层抽样中的计算问题 分层抽样满足“每层中抽取的个体数量本层的总个体数量=样本容量总体数量”,即n1N1=n2N2=nN或
13、n1n2n=N1N2N,据此当已知每层间的个体数量或数量比、样本容量、总体数量中的两个时,就可以求出第三个 典例导引 1(2)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 温馨提醒 1.不论用哪种抽样方法,从容量为 N 的总体中抽取容量为 n的样本时,每个个体被抽取的概率都是 P=nN.2.“等可能”是指“在整个抽样过程”中 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 典例导引2(1)为了调查某工厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量,产量的分组区间为45,55),55,65),65,75),75,85),85,95,频率分布直方图如图
14、所示,若数据落在第3组和第5组的频率和等于数据落在第4组的频率的2倍,则这20名工人中一天生产该产品的数量在75,85)内的人数是 .试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(2)为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取了部分高一学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图,若图中从左到右各个小长方形的高之比为24171593,且样本数据落在第2小组的频数为12.样本数据落在第2小组的频率为 ;抽取的学生中一分钟跳绳次数在第3小组的人数为 .试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93【解析】(1)设样本数据落在75,85)内的频率为x,则由
15、各小组的频率之和为1,可知0.02010+0.03510+x+2x=1,解得x=0.15,所以这20名工人中一天生产该产品的数量在75,85)内的人数为200.15=3.(2)因为在频率分布直方图中,各个小长方形的高之比=各个小长方形的面积之比=各组的频率之比,所以样本数据落在第2小组的频率为 因为各小组的频数之比=小长方形的高之比,所以设抽取的学生中一分钟跳绳次数在第3小组的人数为x,则417=12x,解得x=51.【答案】(1)3(2)0.08 51 42+4+17+15+9+3=0.08.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 高招2频率分布直方图中的规律名称 解 读
16、 典例指引 频率 频率=频数总数=小长方形的面积=小长方形的高组距 典例导引 2(2)面积 各小组的频率之和=小长方形的面积之和=1 典例导引 2(1)比例 各组的频率之比=各组的频数之比=各小长方形的高之比=各小长方形的面积之比 典例导引 2(2)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 温馨提醒 1.准确进行频率分布直方图中的基本运算,尤其是数据落在某个区间内的频率.频率分布直方图的纵轴表示的不是频率,而是频率与组距的商,所以数据在某个区间内的频率应该用小长方形的面积表示.2.注意频率分布直方图的性质应用,例如,因为组距是定值,所以各个小长方形的高度之比等于各组数据的频率
17、之比,各个小长方形的面积之和等于 1 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 典例导引3(2017广东深圳一模)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民
18、中,今年1月份用电费用不超过260元的占80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,估计1月份该市居民用户平均用电费用(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93【解】(1)当 0 x200 时,y=0.5x;当 200400 时,y=0.5200+0.8200+1.0(x-400)=x-140.所以 y 与 x 之间的函数解析式为y=0.5,0 200,0.8-60,200 400.(2)由(1)可知,当 y=260 时,x=400,则 P(x400)=0.80.结合频
19、率分布直方图可知 0.001 100+2 100+0.003 100=0.8,100+0.000 5 100=0.2,解得 a=0.001 5,b=0.002 0.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(3)由题意可知 当x=50时,y=0.550=25,P(y=25)=0.1;当x=150时,y=0.5150=75,P(y=75)=0.2;当x=250时,y=0.8250-60=140,P(y=140)=0.3;当x=350时,y=0.8350-60=220,P(y=220)=0.2;当x=450时,y=450-140=310,P(y=310)=0.15;当x=550时,
20、y=550-140=410,P(y=410)=0.05.故=250.1+750.2+1400.3+2200.2+3100.15+4100.05=170.5(元).试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 高招3“组中值”的应用技巧类别 解 读 技巧 1 若取值为 x1,x2,xn的频率分别为 p1,p2,pn,则其平均值为 x1p1+x2p2+xnpn 技巧 2 各个区间的组中值为频率分布直方图中表示该组的小长方形底边中点的横坐标 温馨提醒 在频率分布表中,各组区间的组中值(即各组区间的中点的数值)可近似表示成每组数的平均值,因而组中值与对应的频率之积的和反映了数据的平均水平
21、 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 典例导引 4(1)甲、乙两位歌手在歌唱比赛中,5 次得分情况如图所示.记甲、乙两人的平均得分分别为甲,乙,则下列判断正确的是()A.甲 乙,甲比乙成绩稳定B.甲 乙,甲比乙成绩稳定D.甲 乙,乙比甲成绩稳定试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(2)某城市100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时),以160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300分组的频率分布直方图如图.求直方图中x的值;求月平均用电量的众数和中位数;在月平均用电量为22
22、0,240),240,260),260,280),280,300的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在220,240)的用户中应抽取多少户 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(3)某车间20名工人年龄数据如下表:年龄/岁 工人数/人 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 求这20名工人年龄的众数与极差;以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;求这20名工人年龄的方差.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(1)【解析】甲=76+77+88+90+945=85,乙=75
23、+88+86+88+935=86,甲2=15(76-85)2+(77-85)2+(88-85)2+(90-85)2+(94-85)2=52,乙2=15(75-86)2+(88-86)2+(86-86)2+(88-86)2+(93-86)2=35.6,所以甲 乙2,故乙比甲成绩稳定.【答案】B 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(2)【解】由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.0025)20=1,得 x=0.007 5,故直方图中 x 的值为 0.007 5.月平均用电量的众数是220+2402=230.(0.002+0.009
24、5+0.011)20=0.45 B,即 A 班的数学成绩平均水平好于 B 班,排除 A;由图可得 B 班波动大,即 B 班的数学成绩没有A 班稳定,排除 B;在第 1 次考试中,A,B 两个班的总平均分为=101+952=98,排除 D,故选 C.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 2.(2017湖南长沙一模)空气质量指数(简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:050为优;51100为良;101150为轻度污染;151200为中度污染;201300为重度污染;大于300为严重污染.某环保人士从当地某年的AQI记录数据中,随机抽取10天
25、的AQI数据,用茎叶图记录如下.根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数约为 .(该年为365天)【答案】146【解析】茎叶图中大于100的有4天 所以解得146,故该年AQI410=365 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 3.(2017广西南宁一摸)某购物中心为了了解顾客使用新推出的某购物卡的顾客的年龄分布情况,随机调查了100位到购物中心购物的顾客年龄,并整理后画出频率分布直方图如图所示,年龄落在区间55,65),65,75),75,85内的频率之比为421.(1)求顾客年龄值落在区间75,85内的频率;(2)拟利用分层抽样从年龄在55,65),65,
26、75)的顾客中选取6人召开一个座谈试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93【解】(1)设顾客年龄值落在区间75,85内的频率为x,则顾客年龄值落在区间55,65),65,75)内的频率分别为4x和2x.依题意得(0.004+0.012+0.019+0.030)10+4x+2x+x=1,解得x=0.05,所以顾客年龄值落在区间75,85内的频率为0.05.(2)根据题意得,需从年龄在55,65),65,75)中分别抽取4人和2人.设年龄在55,65)的4人分别为a,b,c,d,在65,75)的2人分别为m,n,则所抽取的结果共有15种:(a,b),(a,c),(a,d),(a,
27、m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n).设“这两人在不同年龄组”为事件A,事件A包含的基本事件有8种:(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n).则 P(A)=815,所以这两人在不同年龄组的概率为 815.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 考点93变量间的相关关系与独立性检验 1.(2017 山东,理 5)为了研究某班学生的脚长 x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取 10 名学生,根据测量数据的
28、散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=bx+.已知=110 xi=225,=110yi=1 600,=4,该班某学生的脚长为 24,据此估计其身高为()A.160B.163C.166D.170【答案】C 由已知得=110=110 xi=22.5,y=110 i=110yi=160,又=4,所以=160-422.5=70,故当 x=24 时,=424+70=166.故选 C.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 2.(2017课标,理18)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量
29、(单位:kg),其频率分布直方图如下:旧养殖法试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 新养殖法试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;箱产量50 kg 箱产量50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).附:,K2=(-)2(+)(+)(+)(+).试做真题 高手必备 萃取
30、高招 对点精练 考点92 考点93【解】(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66.故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.620.66=0.409 2.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(2)根据箱产
31、量的频率分布直方图得列联表 箱产量6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50+0.5-0.340.068 52.35(kg).试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 3.(2016课标,理18)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以
32、说明;(2)建立 关于t的回归方程(系数精确到0 01),预测2016年我国生活垃圾无害试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 附注:参考数据:=17yi=9.32,i=17tiyi=40.17,=17(-)2=0.55,72.646.参考公式:相关系数 r=1(-)(-)=1(-)2=1(-)2,回归方程=+t 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:=1(-)(-)=1(-)2,=.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93【解】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得=4,=17(ti-t)2=28,i=17(-)2=0.55,=17(ti-)(yi-)=1
33、7tiyi-=17yi=40.17-49.32=2.89.r2.890.5522.6460.99.因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(2)由=9.327 1.331 及(1)得=17(ti-t)(yi-y)i=17(-)2=2.8928 0.103,=1.331-0.10340.92.所以,y 关于 t 的回归方程为:=0.92+0.10t.将 2016 年对应的 t=9 代入回归方程得:=0.92+0.109=1.82.所以预测 201
34、6 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 4.(2015课标,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w i=18(xi-x)2 i=18(wi-w)2 i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi=,=18=18wi
35、.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为=1(
36、-)(-)=1(-)2,=.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93【解】(1)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型.(2)令 w=,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.由于=i=18(-)(-)=18(-)2=108.81.6=68,=563-686.8=100.6,所以 y 关于 w 的线性回归方程为=100.6+68w,因此 y 关于 x的回归方程为=100.6+68.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(3)由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值=100.6+68 49=576.6,
37、年利润 z 的预报值=576.60.2-49=66.32.根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以当 =13.62=6.8,即 x=46.24 时,取得最大值.故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 1.相关关系的判断(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近,那么我们就说变量 x 和 y 具有线性相关关系.(2)相关系数 r=1xiyi-x y(i=1n 2-2)(=12-2).当 r0 时,两变量正相关;当r3.841.所以,在犯错误的概
38、率不超过 0.05 的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 高招7独立性检验的一般步骤步骤 解 读 1.确认 独立性检验原理只能解决两个对象,且每个对象有两类属性的问题,所以对于一个实际问题,我们要首先确定能否用独立性检验的思想加以解决 2.抽取 如果确实属于这类问题,要科学地抽取样本,样本容量要适当,不可太小 3.列表 根据数据列出 22 列联表 4.假设 提出假设 H0:所研究的两类对象(X,Y)无关 5.计算 根据公式计算 K2 的观测值 k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)的值 6.
39、判断 比较观测值 k 与临界值表中相应的检验水平,根据小概率原理肯定或者否定假设,即判断 X,Y 是否相关 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 温馨 提醒 1.独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断,而不是对其是否有关系的判断.2.注意准确计算公式中的各个量及准确计算 K2的观测值 k 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 1.(2017 河北衡水模拟)下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为=0.7x+0.35,则表中 t
40、 的值为()x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A.4B.3C.3.5D.4.5【答案】B 由已知中的数据可得:=3+4+5+64=4.5,=2.5+4+4.54=11+4,数据中心点(,)一定在回归直线上,11+4=0.74.5+0.35,解得 t=3,故选 B.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 2.(2017四川四市一模)张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如下表:年龄 x(岁)7 8 9 10 11 12 13 身高 y(cm)121 128 135 141 148 154 160 (1)求身高y关于年龄x的线性回归方程;(2)利
41、用(1)中的线性回归方程,分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况,如17岁之前都符合这一变化,请预测张三同学15岁时的身高.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:=i=1n(-)(-)=1(-)2,=.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93【解】(1)由题意得=17(7+8+9+10+11+12+13)=10,=17(121+128+135+141+148+154+160)=141,=17(xi-x)2=9+4+1+0+1+4+9=28,i=17(xi-)(yi-)=(-3)(-20)+(-2)(-13)+(-1)(-6)+00+17+213+319=182,
42、所以=17(-)(-)=17(-)2=18228=132,=141-132 10=76,所求回归方程为=132 x+76.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(2)由(1)知,=132 0,故张三同学 7 岁至 13 岁的身高每年都在增高,平均每年增高 6.5 cm.将 x=15 代入(1)中的回归方程,得=132 15+76=173.5,故预测张三同学 15 岁的身高为 173.5 cm.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 3.(2017河北石家庄一模)为了调查某地区成年人血液的一项指标,现随机抽取了成年男性、女性各20人组成的一个样本,对他们的
43、这项血液指标进行了检测,得到了如下茎叶图.根据医学知识,我们认为此项指标大于40为偏高,反之即为正常.(1)依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系,列出22列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系?(2)以样本估计总体,视样本频率为概率,现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人 求此项血液指标为正常的人数X的分布列及数学期望 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 附:K2=(-)2(+)(+)(+)(+),其中 n=a+b+c+d.P(K2k0)0.025 0.010 0.005 k0 5.024 6.635 7.879 试做
44、真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93【解】(1)由茎叶图可得 22 列联表 正常 偏高 合计 男性 16 4 20 女性 12 8 20 合计 28 12 40 K2=(-)2(+)(+)(+)(+)=40(168-124)220202812 1.9046.635.所以不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为此项血液指标与性别有关系.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93(2)由样本数据可知,男性正常的概率为45,女性正常的概率为35.此项血液指标为正常的人数 X 的可能取值为 0,1,2,3,4P(X=0)=1-45 2 1-35 2=4625,
45、P(X=1)=C21 45 1-45 1-35 2+1-45 2 C21 35 1-35=44625,P(X=2)=45 2 1-35 2+C21 45 1-45 C21 35 1-35+1-45 2 35 2=169625,P(X=3)=C21 45 1-45 35 2+45 2 C21 35 1-35=264625,P(X=4)=45 2 35 2=144625.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点92 考点93 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 4625 44625 169625 264625 144625 所以 E(X)=0 4625+1 44625+2169625+3264625+4144625=2.8.此项血液指标为正常的人数 X 的数学期望为 2.8.
