1、2021年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.）1设命题p：x0R，x023x0+10，则p为（）AxR，x23x+10Bx0R，x023x0+10CxR，x23x+10Dx0R，x023x0+102已知（0，），tan，则cos2（）ABCD3已知等差数列an满足a1+a38，a2+a414，则它的前8项的和S8（）A70B82C92D1054为了普及新冠肺炎知识，增强疫情防控意识，某学校从高一和高二两个年级各抽取5位同学参加新冠肺炎知识测试，得分（十分制）情况如表所示，则下列描述正确的是（）高一年级组高二年级组得分45678得分569频数11111频数31
2、1A高一年级组数据的平均数为6分，高二年级组数据的平均数为5分B两组数据的中位数都是6分C高一年级组数据的极差小于高二年级组数据的极差D高一年级组成绩的方差小于高二年级组成绩的方差5已知圆C的圆心为直线x+y0与xy+20的交点，半径为，且圆C截直线x+y+20所得弦的长度为4，则实数m（）A2B4C6D86在递增的数列an中，an+12anan+2，若a1+am130，a2am1256，且前m项和Sm170则m（）A3B4C5D67将直角三角形、矩形、直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是（）附：柱体的体积公式VSh（S为底面面积，h为
3、柱体的高）锥体的体积公式VSh（S为底面面积，h为锥体的高）台体的体积公式V（S1+S2+）h（S1，S2为台体的上、下底面面积，h为台体的高）A14B15CD8设F1，F2为双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，过坐标原点O的直线依次与双曲线C的左、右支交于P，Q两点，若|PQ|2|QF2|2|OF2|，则该双曲线的离心率为（）AB1C2D39已知函数f（x）2x4x，若a0.30.25，blog0.250.3，clog0.32.5，则（）Af（b）f（a）f（c）Bf（c）f（b）f（a）Cf（c）f（a）f（b）Df（a）f（b）f（c）10已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a
4、，b，c，且a2，A，又点A，B，C都在球O的球面上，且点O到平面ABC的距离为，则球O的体积为（）A12BC36D4511已知ABC是边长为2的等边三角形，其中M为BC边的中点，ABC的平分线交线段AM于点N，交AC于点D，且（a+b）（其中a0，b0），则的最小值为（）A3+2B+C1+D6+412已知函数f（x）tanx，其中，当1f（x）0时，xa，b；又函数g（x）sin（2x+a）3x22mx在a，b上单调递增，则实数m的最大值是（）A2BC1D二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13复数z1i（其中i为虚数单位），则|z+3i| 14已知向量（2，1），（3，1）
5、，且k与垂直，则k 15若，则zx+y的最小值是 16已知抛物线y24x的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为H，则tanHMN的值为 三、解答题：本大题共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列an中，a2，anan+1+2anan+1（1）求数列an的通项公式；（2）令的前n项和为Tn，求证：Tn18我国的高等教育中对于硕士研究生的培养，按照培养方向分类，可分为普通硕士和专业硕士两类：一类是普通硕士，根据我国的有关规定，普通硕士教育以培养教学和科研人才为主，授予学位的类型主要是学术型学位另一类是专
6、业硕士，根据国务院学位委员会的定位，专业型学位为具有职业背景的学位，培养特定职业高层次专门人才专业硕士教育的学习方式比较灵活，大致可分为在职攻读和全日制学习两类某大学团委为了解该校大学学生对未来的考硕士研究生的规划，从中随机抽取容量为100的样本，其中有考硕士研究生规划的有24人（其中有考普通硕士规划的6人中，2名是男生，4名是女生）（1）若从样本中选一位学生，那么该同学是有考普通硕士规划的概率有多大？（2）从这6名有考普通硕士规划的学生中，选出3个人，求其中男生至少一人的概率19如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为梯形，点O为AB上一点，且ADDCBCCOCC1B
7、2，ABCD，（）（1）求证：C1O平面ADA1；（2）求点C到平面DBC1的距离20已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C的下顶点，|PF2|OP|，当lx轴时，AOB的面积为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）当直线l不过坐标原点时，求的取值范围21已知函数f（x）exx2+lnx，g（x）2exlnx（1）设曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为k1，曲线yg（x）在点（1，g（1）处的切线斜率为k2，求k1+k2的值；（2）若h（x）f（x）+g（x），设曲线yh（x）在点（t，h（t）处的切线与坐标轴围成的三角形
8、的面积为S（t），求S（t）的最小值请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系直线1的极坐标方程为sin（）2（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若t1，求以曲线C与x轴的交点为圆心，且这个交点到直线l的距离为半径的圆的方程选修45：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|+|x+2|（1）求不等式f（x）9的解集；（2）当f（x）取最小值时，求使得mx2mx+1成立的正实数m的取值范围参考答案一、选择题：本大题共
9、12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1设命题p：x0R，x023x0+10，则p为（）AxR，x23x+10Bx0R，x023x0+10CxR，x23x+10Dx0R，x023x0+10解：命题p：x0R，x023x0+10，由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则p为：xR，x23x+10故选：A2已知（0，），tan，则cos2（）ABCD解：（0，），tan，则cos2，故选：C3已知等差数列an满足a1+a38，a2+a414，则它的前8项的和S8（）A70B82C92D105解：设等差数列an的首项为a1，公差为
10、d由，得，解得a11，d3所以S88a1+8+28392故选：C4为了普及新冠肺炎知识，增强疫情防控意识，某学校从高一和高二两个年级各抽取5位同学参加新冠肺炎知识测试，得分（十分制）情况如表所示，则下列描述正确的是（）高一年级组高二年级组得分45678得分569频数11111频数311A高一年级组数据的平均数为6分，高二年级组数据的平均数为5分B两组数据的中位数都是6分C高一年级组数据的极差小于高二年级组数据的极差D高一年级组成绩的方差小于高二年级组成绩的方差解：对于A，高一年级组数据的平均数为，高二年级组数据的平均数为，故选项A错误；对于B，高一年级组数据的中位数为6，高二年级组数据的中位数
11、为5，故选项B错误；对于C，高一年级组数据的极差为844，高二年级组数据的极差为954，故选项C错误；对于D，高一年级组数据的方差为，高二年级组数据的方差为2，所以高一年级组成绩的方差小于高二年级组成绩的方差，故选项D正确故选：D5已知圆C的圆心为直线x+y0与xy+20的交点，半径为，且圆C截直线x+y+20所得弦的长度为4，则实数m（）A2B4C6D8解：联立，解得圆C的圆心坐标为（1，1），圆心C到直线x+y+20的距离d，且圆C的半径r，圆C截直线x+y+20所得弦的长度为4，由垂径定理可得，解得m4故选：B6在递增的数列an中，an+12anan+2，若a1+am130，a2am12
12、56，且前m项和Sm170则m（）A3B4C5D6解：在递增的数列an中，an+12anan+2，故数列an是单调递增的等比数列，a1+am130，a2am1256a1am，（130a1）a1256a12或a1128，当a1128时，am2（舍去），当a12时，am128，Sm170且qm1，85q4，m4，故选：B7将直角三角形、矩形、直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是（）附：柱体的体积公式VSh（S为底面面积，h为柱体的高）锥体的体积公式VSh（S为底面面积，h为锥体的高）台体的体积公式V（S1+S2+）h（S1，S2为台体的上、
13、下底面面积，h为台体的高）A14B15CD解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由圆锥，圆柱和圆台构成的组合体；如图所示：所以+故选：C8设F1，F2为双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，过坐标原点O的直线依次与双曲线C的左、右支交于P，Q两点，若|PQ|2|QF2|2|OF2|，则该双曲线的离心率为（）AB1C2D3解：设双曲线的半焦距为c，可得|OP|OQ|QF2|OF2|c，即有四边形QF1PF2为矩形，由双曲线的定义可得|QF1|2a+c，在直角三角形F1QF2中，|F1F2|2|QF1|2+|QF2|2，即有4c2（2a+c）2+c2，可得2a+cc，即e1+故选：B9
14、已知函数f（x）2x4x，若a0.30.25，blog0.250.3，clog0.32.5，则（）Af（b）f（a）f（c）Bf（c）f（b）f（a）Cf（c）f（a）f（b）Df（a）f（b）f（c）解：y2x是R上的减函数，y4x是R上的减函数，f（x）2x4x是R上的减函数，0.30.250.301，0log0.251log0.250.3log0.250.251，log0.32.5log0.310，abc，f（a）f（b）f（c）故选：D10已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2，A，又点A，B，C都在球O的球面上，且点O到平面ABC的距离为，则球O的体积为（）A1
15、2BC36D45解：如图，设ABC外接圆的半径为r，由正弦定理可得，则r2，设ABC的外心为G，则AG2，连接OG，则OG平面ABC，得OGGA，即OG，在RtOGA中，OA，即球O的半径为3，则球O的体积为V3336故选：C11已知ABC是边长为2的等边三角形，其中M为BC边的中点，ABC的平分线交线段AM于点N，交AC于点D，且（a+b）（其中a0，b0），则的最小值为（）A3+2B+C1+D6+4解：由题意可得，N为ABC的重心，ABC是边长为2的等边三角形，|AM|，|BN|，DNM120，（）1，又（a+b），a+b1，a0，b0，（）（a+b）3+当且仅当，即b2时等号成立故选：A
16、12已知函数f（x）tanx，其中，当1f（x）0时，xa，b；又函数g（x）sin（2x+a）3x22mx在a，b上单调递增，则实数m的最大值是（）A2BC1D解：当1f（x）0时，f（x）在区间 上单调递增，f（x）tan（0），xa，b，a，b0，即，g（x）在区间上单调递增，g（x）0在上恒成立，即，令M（x）， 求导可得 ，M（x）0恒成立，M（x）在区间单调递减，M（x）minM（0）2m，即2m1，m的最大值为，故选：D二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13复数z1i（其中i为虚数单位），则|z+3i|解：z1i，z+3i1i+3i1+2i，则|z+3i|1+2
17、i|故答案为：14已知向量（2，1），（3，1），且k与垂直，则k解：向量（2，1），（3，1），且k与垂直，（k）kk（61）50，则k15若，则zx+y的最小值是3【解答】由约束条件作出可行域如图，由zx+y，得yx+z，由图可知，当直线yx+z与直线x+y30重合时，z有最小值为3故答案为：316已知抛物线y24x的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为H，则tanHMN的值为解：由抛物线方程可得焦点F（1，0），由直线l过点F且斜率为，得直线l的方程为，与抛物线方程联立，得x24x+10设A（x1，y1），B（x2
18、，y2），则x1+x24，x1x21H（2，），|AB|，以AB为直径的圆的半径为r3，则|MH|NH|3，过H作HGy轴，垂足为G，在MGH中，|GH|2，|MH|3，则|MG|，tanHMNtanHMG故答案为：三、解答题：本大题共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列an中，a2，anan+1+2anan+1（1）求数列an的通项公式；（2）令的前n项和为Tn，求证：Tn解：（1）由a2，anan+1+2anan+1，可得a1a2+2a1a2+a1，解得a11，又对anan+1+2anan+1两边取倒数，可得2，则是首项为1，公差为2的等差数列，可得1+2（n1）2
19、n1，所以an；（2）证明：由（1）可得（），所以Tn（1+.+），因为nN*，所以0，则Tn18我国的高等教育中对于硕士研究生的培养，按照培养方向分类，可分为普通硕士和专业硕士两类：一类是普通硕士，根据我国的有关规定，普通硕士教育以培养教学和科研人才为主，授予学位的类型主要是学术型学位另一类是专业硕士，根据国务院学位委员会的定位，专业型学位为具有职业背景的学位，培养特定职业高层次专门人才专业硕士教育的学习方式比较灵活，大致可分为在职攻读和全日制学习两类某大学团委为了解该校大学学生对未来的考硕士研究生的规划，从中随机抽取容量为100的样本，其中有考硕士研究生规划的有24人（其中有考普通硕士规划
20、的6人中，2名是男生，4名是女生）（1）若从样本中选一位学生，那么该同学是有考普通硕士规划的概率有多大？（2）从这6名有考普通硕士规划的学生中，选出3个人，求其中男生至少一人的概率解：（1）样本容量为100，其中有考普通硕士规划的有6人，故该同学有考普通硕士规划的概率为P（2）设男生为A，B，女生为a，b，c，d，从6人中选取3人的所有情况有20种，分别为：ABa，ABb，ABc，ABd，Aab，Aac，Aad，Abc，Abd，Acd，Bab，Bac，Bad，Bbc，Bbd，Bcd，abc，abd，acd，bcd，其中男生至少一人包含的基本事件个数有16个，分别为：ABa，ABb，ABc，AB
21、d，Aab，Aac，Aad，Abc，Abd，Acd，Bab，Bac，Bad，Bbc，Bbd，Bcd，其中男生至少一人的概率为P19如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为梯形，点O为AB上一点，且ADDCBCCOCC1B2，ABCD，（）（1）求证：C1O平面ADA1；（2）求点C到平面DBC1的距离【解答】（1）证明：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以AA1CC1，又（），所以点O为AB的中点，又且ABCD，所以CDOA且CDOA，所以四边形AOCD为平行四边形，所以ADOC，又在平面A1AD中，A1AADA，在平面C1OC中，CC1COC，由面面平行
22、的判定定理的推理可知，平面A1AD平面C1OC，又C1O平面C1OC，所以C1O平面ADA1；（2）解：由（1）可知，O为AB的中点，在梯形ABCD中，ADDCBCCOCC1，所以BOC为等边三角形，所以CBO60，又ABCD，所以DCB120，所以DCB的面积，则，在DBC1中，DC1BC1，在DBC中，由余弦定理可得DB，所以DBC1的面积为，设点C到平面DBC1的距离为h，由等体积法有，则有，即，解得，故所求点C到平面DBC的距离为20已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C的下顶点，|PF2|OP|，当lx轴时，AOB的面
23、积为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）当直线l不过坐标原点时，求的取值范围解：（1）由题意可知，POF2为直角三角，所以，则bc，又，所以，又a2b2+c2，所以，则b24，所以a2b2+c24+48，故椭圆C的标准方程为；（2）由（1）可知，F1（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又直线l不过坐标原点，所以设直线l的方程为xmy+2，联立方程组，可得（m2+2）y2+4my40，所以，则（x1+2）（x2+2）+y1y2（my1+4）（my2+4）+y1y2（m2+1）y1y2+4m（y1+y2）+16，因为m2+22，所以，则，所以（4，14，故的取值范围为（4，1421
24、已知函数f（x）exx2+lnx，g（x）2exlnx（1）设曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为k1，曲线yg（x）在点（1，g（1）处的切线斜率为k2，求k1+k2的值；（2）若h（x）f（x）+g（x），设曲线yh（x）在点（t，h（t）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（t），求S（t）的最小值解：（1）因为f（x）exx2+lnx，所以f（x）ex2x+，故k1f（1）e1，又因为g（x）2exlnx，所以g（x）ex，故k2g（1）e1，所以k1+k22；（2）h（x）f（x）+g（x）2x2，（x0），h（x）2x，又点（t，h（t）为（t，2t2），所以yh（x）
25、在点（t，2t2）处得切线方程为y（2t2）2t（xt），故当x0时，yt2+2，当y0时，x，所以S（t）（t0），所以S（t），又S（t），由S（t）0得t，由S（t）0得0t，所以S（t）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，所以当t时，S（t）取得极小值，也是最小值S（），故所求最小值为请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系直线1的极坐标方程为sin（）2（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若t
26、1，求以曲线C与x轴的交点为圆心，且这个交点到直线l的距离为半径的圆的方程解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），整理得，所以x24y24，整理得，根据转换为极坐标方程为2cos242sin24直线1的极坐标方程为sin（）2，根据转换为直角坐标方程为x+y40（2）由于t1，所以x24y24（x2），它与x轴的交点的坐标为（2，0），交点（2，0）到直线x+y40的距离d，即半径为，所以圆的方程为（x2）2+y22选修45：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|+|x+2|（1）求不等式f（x）9的解集；（2）当f（x）取最小值时，求使得mx2mx+1成立的正实数m的取值范围解：（1）由不等式f（x）9可得f（x）|x1|+|x+2|9，可化为f（x），解得5x4，故不等式f（x）9的解集为：5，4（2）因为f（x）|x1|+|x+2|1x|+|x+2|1x+x+2|3，当且仅当（x1）（x+2）0，即2x1时，等号成立，故当2x1时，f（x）min3，当f（x）取最小值时，mx2mx+1，m1+，又2x14x21132+10，故所求m的取值范围为：（0，
