1、最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解第8讲函数与方程1函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数yf(x)，把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_知 识 梳 理f(x)0零点x轴(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；_；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二分
2、法(1)定义：对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法f(a)f(b)0f(a)f(b)0一分为二零点(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；()若f(c)0，则c就是函数的零点；()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.1
3、判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()诊 断 自 测2(2014北京卷)已知函数 f(x)6xlog2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0，1)B(1，2)C(2，4)D(4，)解析 由题意知，函数 f(x)在(0，)上为减函数，又 f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)64log24322
4、120，由零点存在性定理，可知函数 f(x)在区间(2，4)上必存在零点，故选 C.答案 C3(2014湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断，由下表知方程f(x)g(x)有实数解的区间是()x 1 0 1 2 3 f(x)0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 g(x)0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 A.(1，0)B(0，1)C(1，2)D(2，3)解析 记h(x)f(x)g(x)，依题意，注意到h(0)0，h(1)0，因此函数h(x)的零点属于(0，1)，即方程f(x)g(x)有实数解的区间是(0，1)，故选B.答
5、案 B4(人教A必修1P92A1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案 A5(2014福建卷)函数 f(x)x22，x0，2x6ln x，x0的零点个数是_解析 当 x0 时，由 x220 得 x 2(正根舍去)；当x0 时，f(x)2x6ln x 在(0，)上为增函数，且 f(2)ln 220，f(3)ln 30，所以 f(x)在(0，)上有且只有一个零点，综上可知 f(x)的零点个数为 2.答案 2考点一 函数零点的判断与求解【例1】(1)(2014唐山一模)设f(x)exx4，则函数f(x)的零点位于区间()A(1，0)B(0，1)C(1，2)D(2
6、，3)(2)(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2 7，1，3 D2 7，1，3解析(1)f(x)exx4，f(x)ex10，函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(1)e1(1)45e10，f(0)30，f(1)f(0)0，A不正确；同理可验证B，D不正确，对于C项，f(1)e14e30，f(2)e224e220，f(1)f(2)0.故f(x)的零点位于区间(1，2)(2)当 x0 时，f(x)x23x，令 g(x)x23xx30，得 x13，x21.当 x0 时，x0，f(
7、x)(x)23(x)，f(x)x23x，f(x)x23x.令 g(x)x23xx30，得 x32 7，x42 70(舍)，函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合是2 7，1，3，故选 D.答案(1)C(2)D规律方法(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)的根，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)g(x)的根【训练 1】(2015莱芜一模)已知函数 f(x)2x1，x1，1log2x，x1，
8、则函数 f(x)的零点为()A.12，0 B2，0 C.12D0解析 当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log2x0，解得 x12，又因为 x1，所以此时方程无解综上，函数 f(x)的零点只有 0.答案 D(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根.考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值【例 2】已知函数 f(x)x22exm1，g(x)xe2x(x0)解(1)法一 g(x)xe2x2 e22e，等号成立的条件是 xe，故 g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则 yg(x)m 就有
9、零点图1图2法二 作出 g(x)xe2x(x0)的大致图象如图 1.可知若使 yg(x)m 有零点，则只需 m2e.(2)若 g(x)f(x)0 有两个相异实根，即 yg(x)与 yf(x)的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出 g(x)xe2x(x0)与 f(x)x22exm1 的大致图象如图 2.f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，yg(x)与yf(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，
10、通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用【训练 2】(1)函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范围是()A(1，3)B(1，2)C(0，3)D(0，2)(2)(2014太原模拟)已知函数 f(x)|2x1|，x2，3x1，x2，若方程f(x)a0 有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是()A(1，3)B(0，3)C(0，2)D(0，1)解析(1)因为函数 f(x)2x2xa 在区间(1，2)上单调递增，又函数 f(x)2x2x
11、a 的一个零点在区间(1，2)内，则有 f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即 a(a3)0.所以 0a3.(2)画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D.答案(1)C(2)D考点三 与二次函数有关的零点问题【例3】是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1，3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解 令 f(x)0，则(3a2)24(a1)9a216a89a892890 恒成立，即 f(x)0 有两个不相等的
12、实数根，若实数 a 满足条件，则只需 f(1)f(3)0 即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a15或 a1.检验：(1)当 f(1)0 时，a1，所以 f(x)x2x.令 f(x)0，即 x2x0，得 x0 或 x1.方程在1，3上有两个实数根，不合题意，故 a1.(2)当 f(3)0 时，a15，此时 f(x)x2135 x65.令 f(x)0，即 x2135 x650，解得 x25或 x3.方程在1，3上有两个实数根，不合题意，故 a15.综上所述，a 的取值范围是，15(1，)规律方法 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根
13、公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【训练3】已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围 解 法一 设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.法二 函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a1.故实数a的取值范围是(2，1)思想方法1判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题易错防范1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象
