1、第二章章末跟踪测评考点对应题号错题序号：_错因分析：基础训练能力提升1.空间向量及其运算1,2,3,5,6,13,17152.立体几何中的向量方法4,7,8,9,10,14,18,1911,12,16,20,21,22一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则()()A B C DA解析 在BCD中，因为G是CD的中点，所以()，从而().故选A项2直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则()Aabc BabcCabc Da bcD解析 ()bac.3已知i，j，k为单位正交
2、基底，a3i2jk，bij2k，则5a与3b的数量积等于()A15 B5 C3 D1A解析 因为i，j，k两两垂直且|i|j|k|1，所以5a3b(15i10j5k)(3i3j6k)45303015.4已知二面角l的大小为60，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A30 B60 C90 D120B解析 设m，n的方向向量分别为m，n.由m，n知m，n分别是平面，的法向量因为|cosm，n|cos 60，所以m，n60或120.但由于两异面直线所成的角的范围为，故异面直线m，n所成的角为60.5已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()
3、A30 B60 C120 D150C解析 设向量ab与c的夹角为，因为ab(1，2，3)，|ab|，cos ，所以60.因为向量ab与a的方向相反，所以a与c的夹角为120.故选C项6如图，空间四边形OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN.设xyz，则x，y，z的值分别为()A， B，C， D，D解析 因为MG2GN，所以.故().7如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A BC DA解析 不妨设CB1，则CACC12.由题图知，A(2,0,0)，B(0,0,1)，B1(0,2,1)，
4、C1(0,2,0)所以(0,2，1)，(2,2,1)所以cos，.8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()A30 B45C60 D90D解析 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设该正方体的棱长为2，则A1(2,0,2)，M(0,1,0)，N(0,2,1)所以(2,1，2)，(0,2,1)，所以cos，0.所以异面直线A1M与DN所成角的大小是90.9如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MANa，则MN与平面BB1C
5、1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定B解析 在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为|A1B|AC|a，所以，.因此，共面又因为MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C10正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，则AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值为()A BC DA解析 设正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，以B为原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C1(0,1,1)，A，所以，又平面BB1C1C的一个法向量n(1,0,0)，所以AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值sin ，得cos .11如图，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，
6、那么二面角BAPC的余弦值为()A BC DC解析 如图，作BDAP于D，作CEAP于E.设AB1，则易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，ED.因为，所以2222222，所以，所以cos，由图可知C项正确12如图，四棱锥PABCD中，PB平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3，点E在棱PA上，且PE2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为()A B C DB解析 以B为原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)，所以(0,
7、2,1)，(3,3,0)设平面BED的法向量为n(x，y，z)，则即所以令z1，则n.又平面ABE的一个法向量为m(1,0,0)，所以cosn，m，即平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，若以，为基底，则_.解析 ()().答案 14如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4，DD13，则A1B与B1C所成角的余弦值为_.解析 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标
8、系，如图所示则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得(0,4，3)，(4,0，3)故cos，.答案 15已知正方体ABCDA1B1C1D1，P，M为空间任意两点，如果有674，那么点M一定在平面_内解析 因为6646424，所以24.即24.故，共面，即点M在平面A1BCD1内答案 A1BCD116等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为_.解析 设AB2，作CO平面ABDE于O，OHAB，连接CH，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角，CH，OHCHcos
9、CHO1.结合等边ABC与正方形ABDE可知四棱锥CABDE为正四棱锥，则ANEMCH，()，()，故EM，AN所成角的余弦值为.答案 三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简；(2)设E是棱DD1上的点，且，若xyz，试求实数x，y，z的值解析 (1)().(2)因为()，所以x，y，z.18(12分)如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2，求点B 到平面 FEG的距离解析 以，的方向分别为x轴、y轴、
10、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则G(0,0,2)，B(0,4,0)，A(4,4,0)，D(4,0,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，故(4,2，2)，(2,4，2)设n0 (x，y，z)是平面 EFG的单位法向量，则有即取z0，得xy，z .所以n0(1,1,3)又因为(0,4，2)，所以点B到平面FEG的距离d.即点B 到平面FEG的距离为.19(12分)如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE ，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)求证：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值解析 如图所
11、示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，F(0,0,1)，E(0,1,1)，M.(1)(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.(2)证明：由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得0，0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，故CE平面AMD.又CE平面 CDE，则平面AMD平面CDE.(3)设平面CDE的法向量为u(x，y，z)，则 于是 令x1，可得平面CDE的一个法向量u(1,1,1)又由题设，平面ACD的一个法向量为 (0,0,1)所以cosu，.故二面角ACDE的余
12、弦值为.20(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD 60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PA AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面 PDC垂直时，求PA的长解析 (1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面 ABCD，所以PABD，又ACPAA，所以BD平面PAC(2)设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，0)，P(0，2)，B(1,0,0) ，C(0，0)，所以(1，2)，(0，2，0)设PB与AC所成角为
13、，则cos .(3)由(2)知(1，0)设P(0，t)(t0)，则(1，t)设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则m0，m0，所以令y，则x3，z.所以m.同理，平面PDC的一个法向量n.因为平面PBC平面PDC，所以mn0，即60，解得t，所以PA.21(12分)(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值解析 (1)证明：取PA的中点为F，连接EF，BF，CE.因为E，F为PD，PA中
14、点，所以EF为PAD的中位线，所以EF綊AD.又因为BADBAC90，所以BCAD.又因为ABBCAD，所以BC綊AD，所以EF綊BC所以四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF.又因为BF平面PAB，所以直线CE平面PAB(2)以AD的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系设ABBC1，则O(0,0,0)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0，)M在底面ABCD上的投影为M，则MMBM.因为MBM45，所以MBM为等腰直角三角形，又POC为直角三角形，所以PCO60.设|MM|a，|CM|a，|OM|1a，所以M.|BM|aa，所以|OM|1
15、a1.所以M，M，(1,0,0)设平面ABM的法向量为m(0，y1，z1)，则即y1z10，所以可取m(0，2)而平面ABD的一个法向量为n(0,0,1)，所以cosm，n，所以二面角MABD的余弦值为.22(12分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2AD，且(01)(1)求证：对任意01，总有APBD；(2)若，求二面角PAB1B的余弦值；(3)是否存在，使得AP在平面B1AC上的射影平分B1AC？若存在， 求出的值， 若不存在，说明理由解析 (1)证明：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，P(0,1,22)，从而(1，1,0)，(1,1,22)，所以0，即APBD.(2)由(1)及得A，(0,1,2)，设平面AB1P的一个法向量为n(2，x，y)，则从而可取平面AB1P的一个法向量为n(2,6，3)，又取平面ABB1的一个法向量为m(1,0,0)，且设二面角PAB1B的平面角为，所以cos .(3)假设存在实数(01)满足条件，由题意结合图形，只需满足分别与，所成的角相等，即，即，解得(0,1)所以存在满足题意的实数，使得AP在平面B1AC上的射影平分B1AC
