1、选修44 坐标系与参数方程第一节 坐标系 将圆 x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.(1)求曲线 C 的标准方程；(2)设直线 l：2xy20 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l垂直的直线的极坐标方程解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上的点(x，y)，依题意，得xx1，y2y1.由 x21y211 得 x2y221，故曲线 C 的方程为 x2y24 1.(2)由x2y24 1，2xy20，解得x1，y0或x0，y2 不妨设 P1(1，0)，P2(
2、0，2)，则线段 P1P2 的中点坐标为12，1，所求直线斜率为 k12，于是所求直线方程为 y112x12，化为极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3，故所求直线的极坐标方程为 34sin 2cos.1解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的 P(x，y)与变换后的点P(x，y)的坐标关系，利用方程思想求解 2求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将 xcos，ysin 代入转化在平面直角坐标系中，已知伸缩变换：x3x，2yy.(1)求点 A13，2 经过 变换所得点 A的坐标；(2)求直线 l：y6x 经过 变换后所得
3、直线 l的方程解：(1)设点 A(x，y)，由伸缩变换：x3x2yy 得x3x，yy2，x1331，y22 1.点 A的坐标为(1，1)(2)设 P(x，y)是直线 l上任意一点 由伸缩变换：x3x，2yy，得xx3y2y，代入 y6x，得 2y6x3 2x，yx为所求直线 l的方程(2015课标全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 4(R)，设 C2 与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积解：(1)因为 xcos，ys
4、in，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 22cos 4sin 40.(2)将 4 代入 22cos 4sin 40，得 23 240，解得 12 2，2 2.故 12 2，即|MN|2.由于 C2 的半径为 1，所以C2MN 的面积为12.1进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tan yx(x0)2进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意，的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧(2015江苏卷)已知圆 C 的极坐标方程为 22 2 sin 440，求
5、圆 C 的半径解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 22 222 sin 22 cos 40，化简，得 22sin 2cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆 C 的半径为 6.在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为sin 4 1，圆 C 的圆心的极坐标是 C1，4，圆的半径为 1.(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长解：(1)设 O 为极点，OD 为圆 C 的直径，A(，)为圆 C 上的一个动点，则AOD4 或AOD4
6、，OAODcos4 或 OAODcos4，所以圆 C 的极坐标方程为 2cos4.(2)由 sin4 1，得 22(sin cos)1，直线 l 的直角坐标方程为 xy 20，又圆心 C 的直角坐标为22，22 满足直线 l 的方程，直线 l 过圆 C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径 2.1本题中圆 C 的圆心过极点，从而得到AOD4，或AOD4，当然如果建系不同，曲线的极坐标方程也会不同，因此建立适当的极坐标系，可简化运算过程 2由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解(2015 课 标 全 国 卷)在 直 角 坐 标 系 x
7、Oy 中，曲 线 C1：xtcos ，ytsin(t 为参数，t0)，其中 0.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin ，C3：2 3cos .(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3相交于点 B，求|AB|的最大值解：(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y22y0，曲线 C3的直角坐标方程为 x2y22 3x0.联立x2y22y0，x2y22 3x0，解得x0，y0或x 32，y32.所以 C2与 C3 交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线 C1 的极坐标方程为(R，0)，其中 0.因此 A 的极坐标为(2sin，)，B 的极坐标为(2 3cos，)所以|AB|2sin 2 3cos|4sin（3）.当 56 时，|AB|取得最大值，最大值为 4.
