1、惠州市2015届高三第一次调研考试 数 学 (理科) 【试卷综评】试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷难易适中,没有偏、难、怪题,保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情;在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础,突出知识体系中的重点,培养能力”的命题原则,重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。整份试卷充分体现了“数学来源于生活”这一新课程理念。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1复数(其中为虚数单位)的虚部是 ( ) 【知识点】虚数的概念;虚数除法的运算法则.【
2、答案解析】C 解析 :解:化简得,则虚部为,故选.【思路点拨】分式上下同时乘以分子的共轭复数再化简整理即可.2已知集合,则下列结论正确的是( ) 【知识点】集合元素的意义;集合运算;分段函数求值域.【答案解析】C 解析 :解:已知集合,故选.【思路点拨】指的是函数值域,将绝对值函数数形结合求值域,在验证各答案.3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) 【知识点】分层抽样.【答案解析】B 解析 :解:三个年级的学生人数比例为,按分层抽样方法,在高三年级应该抽取人数为人,故选.【思路点拨
3、】利用样本三个年级学生容量比与总体中其容量比相同建立等式求值.4已知等差数列的前项和为,若,则 ( ) 【知识点】等差数列的性质和求和公式.【答案解析】D 解析 :解:由题意,等差数列中,所以,故选.【思路点拨】先应用等差数列的性质得,再应用等差数列求和公式求和.5在二项式的展开式中,含的项的系数是( ) 【知识点】二项展开式通项的公式.【答案解析】A 解析:解:由二项式定理可知,展开式的通项为,则得,所以含项的系数为,故选.【思路点拨】先由二项式定理得通项,再根据未知量次数建立等式得,将值代回通项得系数.【典型总结】本题主要考查二项展开式通项的公式.43233正视图侧视图俯视图6若某几何体的
4、三视图如右图所示,则此几何体的体积等于( )3243第6题图 【知识点】由三视图求面积、体积【答案解析】C解析 :解:由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的,如图,故选.【思路点拨】先根据三视图判断几何体的形状,再利用体积公式计算即可【典型总结】本题主要考查三视图的应用,利用三视图还原成空间几何体的直观图是解决此题的关键,要求熟练掌握空间几何体的体积公式7已知都是区间内任取的一个实数,则使得的取值的概率是( ) 【知识点】几何概型.【答案解析】A 解析 :解:此题为几何概型,事件A的度量为函数的图像在内与轴围成的图形的面积,即,则事件A的概率为,故选.【思路点拨】利用积分
5、找出满足题意的图形的面积与边长为的正方形的面积的比值即可.8已知向量与的夹角为,定义为与的“向量积”,且是一个向量,它的长度,若,则( ) 【知识点】向量加减运算;模的运算;夹角的运算.【答案解析】D 解析 :解:由题意,则,得,由定义知,故选.【思路点拨】先求,再求,数形结合求,最后套“向量积”的长度公式即可.二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分每小题5分,满分30分)(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答9 函数的定义域是 .【知识点】对数函数的定义域.【答案解析】解析 :解:由得,则定义域为: .【思路点拨】本题对未知量的限制只在真数部分,列式直接可求
6、得.10以抛物线的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为2的双曲线方程是 .【知识点】待定系数法求双曲线方程.【答案解析】解析 :解:抛物线焦点,则双曲线中:,且,得,又得,则双曲线的标准方程为:.【思路点拨】据已知求a,由离心率为2求c,再由求b,从而得到方程.11用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数,共有_个.【知识点】有限制条件的排列问题;优限法.【答案解析】12解析 :解:由题意,没有重复数字的偶数,则末位是2或4,当末位是时,前三位将,三个数字任意排列,则有种排法,末位为时一样有种,两类共有:种,故共有没有重复数字的偶数个.OCBA11-1xyy=-x【思路点拨】本题为有限制
7、条件的排列问题,一定要先按排限制位即个位,个位有两种情况,再分类分别求个数,最后求和即可.12设变量满足,则的最大值是 .【知识点】线性规划.【答案解析】 解析 :解:由约束条件画出可行域如图所示,则目标函数在点取得最大值, 代入得,故的最大值为.【思路点拨】先由约束条件画可行域,再数形结合平移目标函数直线系得最优解,最后代入目标函数求值即可.13函数的定义域为,对任意,则的解集为 .【知识点】利用导数研究函数的单调性;其他不等式的解法【答案解析】解析 :解:设则又对任意,所以即F(x)在R上单调递增,则F(x)0的解集为(-1,+),即f(x)2x+4的解集为(-1,+)故答案为:(-1,+
8、)【思路点拨】构建函数由f(-1)=2得出F(-1)的值,求出F(x)的导函数,根据,得到F(x)在R上为增函数,根据函数的增减性即可得到F(x)大于0的解集,进而得到所求不等式的解集(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。14(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,分别是直线和APOB圆上的动点,则两点之间距离的最小值是 .【知识点】极坐标方程与普通方程的互化;点到直线的距离.【答案解析】 解析 :解:由题意,直线,圆的标准方程,则圆心到直线的距离为,且圆半径,故.【思路点拨】先把直线与圆的极坐标方程转化为普通方程,再利用点到直线的距离公式即可.
9、15(几何证明选讲选做题)如图所示,是等腰三角形,是底边延长线上一点,且,则腰长= . 【知识点】构造圆应用其切割线定理.ABPOCD【答案解析】 解析 :解:】以为圆心,以为半径作圆,则圆经过点,即,设与圆交于点且延长交圆与点,由切割线定理知,即,得,所以.【思路点拨】构造以为半径的圆,由切割线定理建立关于半径的等式从而求出.三、解答题:(本大题共6小题,满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)16(本小题满分12分)已知. (1)求的值; (2)求的值【知识点】弦切互化;二倍角的正切公式.【答案解析】(1) (2) 解析 :解:(1) ,则 -1分 -2分 -4分 -5分(2)
10、 原式 -7分 -9分 -10分= -11分 -12分【思路点拨】(1)先根据已知条件求出 ,再利用倍角公式求出 即可;(2)把分母展开消项即可.17(本小题满分12分)去年2月29日,我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在为优秀,各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测,得到每天的空气质量指数,从中随机抽取50个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图. (1) 求的值; (2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (注:设样本数据第组的频率为,第组区间的中点值为,则样本数据的平
11、均值为.)空气质量指数频率组距0.0320.0200.018O515253545(3) 如果空气质量指数不超过,就认定空气质量为“特优等级”,则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值,其中达到“特优等级”的天数为,求的分布列和数学期望.【知识点】频率分布直方图;二项分布.【答案解析】(1) (2)24.6 (3) 解析 :解:(1) 由题意,得, 1分解得. 2分(2)个样本中空气质量指数的平均值为 3分由样本估计总体,可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. 4分(3)利用样本估计总体,该年度空气质量指数在内为“特优等级”,且指数达到“特优等级”的概率为,则. 5分的取值为, 6分, ,. 1
12、0分 的分布列为: 11分. 12分 (或者)【思路点拨】(1)所有矩形的面积和为1解得a;(2)代入公式求值即可;(3)利用二项分布求出分布列,然后求其期望值即可.18.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱中,平面侧面,且(1) 求证:;(2) 若直线与平面所成的角为,求锐二面角的大小。【知识点】面面垂直;线面垂直的性质;线面所成角;二面角.BA1CAB1C1【答案解析】(1)见解析 (2) 解析 :解:(1)证明:如右图,取的中点,连接, 1分因,则 2分由平面侧面,且平面侧面,3分BA1CAB1C1DE得,又平面, 所以. 4分因为三棱柱是直三棱柱,则,所以.又,从而侧面 ,又侧面,故.
13、 7分(2)解法一:连接,由(1)可知,则是在内的射影 即为直线与所成的角,则 8分在等腰直角中,且点是中点 ,且, 9分 过点A作于点,连由(1)知,则,且 即为二面角的一个平面角 10分 且直角中:又, ,且二面角为锐二面角 ,即二面角的大小为 14分 解法二(向量法):由(1)知且,所以以点为原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,且设,则, 9分设平面的一个法向量由, 得:令 ,得 则 10分设直线与所成的角为,则得,解得,即 12分又设平面的一个法向量为,同理可得,设锐二面角的大小为,则,且,得 ,所以锐二面角的大小为。 14分【思路点拨】(1)根据面面垂直得线面垂直,
14、线面垂直得线线垂直即可证明;(2)按三垂线法找出二面角的平面角,再放在三角形中去求角即可【典型总结】要对定理熟能练掌握和运用,对角的概念把握准,求角的方法一贯就是一找二证三求四答。19(本小题满分14分)已知数列中,前项和(1) 求数列的通项公式;(2) 设数列的前项和为,是否存在实数,使得对一切正整数都成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由【知识点】递推公式法求通项,裂项相消法求和.【答案解析】(1) (2) 解析 :解:(1)(解法一) 3分整理得 两式相减得 5分即 ,即 7分 数列是等差数列 且,得,则公差 8分(解法二) 3分整理得等式两边同时除以得 , 5分即 6分累加得
15、 得 8分(2) 由(1)知 10分 12分 则要使得对一切正整数都成立,只要,所以只要 存在实数,使得对一切正整数都成立,且的最小值为14分【思路点拨】(1)当遇到和的关系式为递推公式时,常用思维是化“单一”,只含项或只含和的形式,然后再寻求概念或裂项相消法进一步求通项;(2)先裂项相消求和,再放缩法即可得结果.20(本小题满分14分)椭圆的离心率为,其左焦点到点的距离为(1) 求椭圆的标准方程;(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标【知识点】椭圆方程,直线与椭圆的位置关系.【答案解析】(1) (2)恒过定点 (,0
16、) 解析 :解:(1)由题: 左焦点 (c,0) 到点P(2,1) 的距离为:d = 2分由可解得c = 1 , a = 2 , b 2 = a 2c 2 = 3 3分 OxyPABF1F2A2l所求椭圆 C 的方程为 4分(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y = kx + m代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 212 = 0x1 + x2 = ,x1x2 = , 6分且y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + mAB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以 = 0 7分所以 (x12,y1)(x22,y2) = (x12) (x2
17、2) + y1y2 = (x12) (x22) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)(km2)+ m 2 + 4 = 0 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0m = k 或 m = 2k 都满足 0 12分若 m = 2k 时,直线 l 为 y = kx2k = k (x2) ,恒过定点 A2(2,0),不合题意舍去; 13分若 m = k 时,直线 l 为 y = kxk = k (x), 恒过定点 (,0) 14分【思路点拨】(1)利用两点间的距离公式可
18、得c,再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a,b;(2)把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D,可得= 0,即可得出m与k的关系,从而得出答案21(本小题满分14分)已知关于的函数,其导函数为记函数 在区间上的最大值为(1) 如果函数在处有极值,试确定的值;(2) 若,证明对任意的,都有;(3) 若对任意的恒成立,试求的最大值【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值【答案解析】(1) , (2)见解析 (3) 解析 :解:(1) ,由在处有极值,可得 ,解得,或 2分若,则,此时函数没有极值;3分 若,则,此时当变化时,的
19、变化情况如下表:极小值极大值 当时,有极大值,故,即为所求。 4分(2)证法一: 当时,函数的对称轴位于区间之外 在区间上的最值在两端点处取得,故应是和中较大的一个 ,即 8分证法二(反证法):因为,所以函数的对称轴位于区间之外, 在区间上的最值在两端点处取得,故应是和中较大的一个,假设,则,将上述两式相加得: 6分 ,得,产生矛盾, 所以 8分(3) (i)当时,由(2)可知; 9分(ii)当时,函数的对称轴位于区间之内,此时,由,有 若,则,则, 于是 11分 若,则,则于是 13分综上可知,对任意的、都有而当,时,在区间上的最大值 ,故对任意的、恒成立的的最大值为。 14分【思路点拨】(
20、1)对函数求导,由题意可得,代入可求b,c,代入验证,找出符合条件的值(2)(法1)代入整理,结合|b|1的条件判断函数f(x)的对称轴与区间-1,1的位置关系,从而求出该函数在-1,1上的最大值M,则Mf(1),Mf(-1),可证(法2)利用反证法:假设M2,由(1)可知M应是g(-1)和g(1)中较大的一个,则有,代入产生矛盾(3)(法1)Mk恒成立kMmin,转化为求M的最小值当|b|1,结合(II)讨论|b|1两只情况讨论,此时M=maxg(-1),g(1),g(b),结合条件推理论证(法2)仿照法1,利用二次函数在区间-1,1的图象及性质求出M=g(-1),g(1),g(b),求出M的最小值。