1、惠州市2015届高三第一次调研考试 数 学 (理科） 【试卷综评】试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。整份试卷充分体现了“数学来源于生活”这一新课程理念。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1复数（其中为虚数单位）的虚部是 （ ） 【知识点】虚数的概念;虚数除法的运算法则.【
2、答案解析】C 解析 ：解：化简得，则虚部为，故选.【思路点拨】分式上下同时乘以分子的共轭复数再化简整理即可.2已知集合，则下列结论正确的是（ ） 【知识点】集合元素的意义;集合运算;分段函数求值域.【答案解析】C 解析 ：解：已知集合,故选.【思路点拨】指的是函数值域，将绝对值函数数形结合求值域，在验证各答案.3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) 【知识点】分层抽样.【答案解析】B 解析 ：解：三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选.【思路点拨
3、】利用样本三个年级学生容量比与总体中其容量比相同建立等式求值.4已知等差数列的前项和为，若，则 ( ) 【知识点】等差数列的性质和求和公式.【答案解析】D 解析 ：解：由题意，等差数列中，所以，故选.【思路点拨】先应用等差数列的性质得，再应用等差数列求和公式求和.5在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） 【知识点】二项展开式通项的公式.【答案解析】A 解析：解：由二项式定理可知，展开式的通项为，则得，所以含项的系数为，故选.【思路点拨】先由二项式定理得通项，再根据未知量次数建立等式得，将值代回通项得系数.【典型总结】本题主要考查二项展开式通项的公式.43233正视图侧视图俯视图6若某几何体的
4、三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）3243第6题图 【知识点】由三视图求面积、体积【答案解析】C解析 ：解：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图，故选.【思路点拨】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可【典型总结】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成空间几何体的直观图是解决此题的关键，要求熟练掌握空间几何体的体积公式7已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是（ ） 【知识点】几何概型.【答案解析】A 解析 ：解：此题为几何概型，事件A的度量为函数的图像在内与轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选.【思路点拨】利用积分
5、找出满足题意的图形的面积与边长为的正方形的面积的比值即可.8已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，则（ ） 【知识点】向量加减运算;模的运算;夹角的运算.【答案解析】D 解析 ：解：由题意，则，得，由定义知，故选.【思路点拨】先求，再求，数形结合求，最后套“向量积”的长度公式即可.二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9 函数的定义域是 .【知识点】对数函数的定义域.【答案解析】解析 ：解：由得，则定义域为： .【思路点拨】本题对未知量的限制只在真数部分，列式直接可求
6、得.10以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .【知识点】待定系数法求双曲线方程.【答案解析】解析 ：解：抛物线焦点，则双曲线中：，且，得，又得，则双曲线的标准方程为：.【思路点拨】据已知求a，由离心率为2求c，再由求b，从而得到方程.11用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有_个.【知识点】有限制条件的排列问题；优限法.【答案解析】12解析 ：解：由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是时，前三位将，三个数字任意排列，则有种排法，末位为时一样有种，两类共有：种，故共有没有重复数字的偶数个.OCBA11-1xyy=-x【思路点拨】本题为有限制
7、条件的排列问题，一定要先按排限制位即个位，个位有两种情况，再分类分别求个数，最后求和即可.12设变量满足，则的最大值是 .【知识点】线性规划.【答案解析】 解析 ：解：由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数在点取得最大值， 代入得，故的最大值为.【思路点拨】先由约束条件画可行域，再数形结合平移目标函数直线系得最优解，最后代入目标函数求值即可.13函数的定义域为，对任意，则的解集为 .【知识点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法【答案解析】解析 ：解：设则又对任意，所以即F（x）在R上单调递增，则F（x）0的解集为（-1，+），即f（x）2x+4的解集为（-1，+）故答案为：（-1，+
8、）【思路点拨】构建函数由f（-1）=2得出F（-1）的值，求出F（x）的导函数，根据，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，分别是直线和APOB圆上的动点，则两点之间距离的最小值是 .【知识点】极坐标方程与普通方程的互化；点到直线的距离.【答案解析】 解析 ：解：由题意，直线，圆的标准方程，则圆心到直线的距离为，且圆半径，故.【思路点拨】先把直线与圆的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式即可.
9、15(几何证明选讲选做题)如图所示，是等腰三角形，是底边延长线上一点，且，则腰长= . 【知识点】构造圆应用其切割线定理.ABPOCD【答案解析】 解析 ：解：】以为圆心，以为半径作圆，则圆经过点，即，设与圆交于点且延长交圆与点，由切割线定理知，即，得，所以.【思路点拨】构造以为半径的圆，由切割线定理建立关于半径的等式从而求出.三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16（本小题满分12分）已知. (1)求的值； (2)求的值【知识点】弦切互化；二倍角的正切公式.【答案解析】（1） (2) 解析 ：解：（1） ，则 -1分 -2分 -4分 -5分（2）
10、 原式 -7分 -9分 -10分= -11分 -12分【思路点拨】（1）先根据已知条件求出 ，再利用倍角公式求出 即可；(2)把分母展开消项即可.17（本小题满分12分）去年2月29日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求的值； (2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值； （注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平
11、均值为.）空气质量指数频率组距0.0320.0200.018O515253545(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.【知识点】频率分布直方图;二项分布.【答案解析】(1) (2)24.6 (3) 解析 ：解：(1) 由题意，得， 1分解得. 2分（2）个样本中空气质量指数的平均值为 3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. 4分（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. 5分的取值为， 6分， ，. 1
12、0分 的分布列为： 11分. 12分 （或者）【思路点拨】(1)所有矩形的面积和为1解得a；(2)代入公式求值即可；(3)利用二项分布求出分布列，然后求其期望值即可.18.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(1) 求证：；(2) 若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。【知识点】面面垂直；线面垂直的性质；线面所成角；二面角.BA1CAB1C1【答案解析】(1)见解析 (2) 解析 ：解：（1）证明：如右图，取的中点，连接， 1分因，则 2分由平面侧面，且平面侧面，3分BA1CAB1C1DE得，又平面， 所以. 4分因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.又，从而侧面 ，又侧面，故.
13、 7分（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影 即为直线与所成的角，则 8分在等腰直角中，且点是中点 ，且， 9分 过点A作于点，连由（1）知，则，且 即为二面角的一个平面角 10分 且直角中：又， ，且二面角为锐二面角 ，即二面角的大小为 14分 解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则， 9分设平面的一个法向量由， 得：令 ，得 则 10分设直线与所成的角为，则得，解得，即 12分又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，且，得 ，所以锐二面角的大小为。 14分【思路点拨】（1）根据面面垂直得线面垂直，
14、线面垂直得线线垂直即可证明；（2）按三垂线法找出二面角的平面角，再放在三角形中去求角即可【典型总结】要对定理熟能练掌握和运用，对角的概念把握准，求角的方法一贯就是一找二证三求四答。19（本小题满分14分）已知数列中，前项和(1) 求数列的通项公式；(2) 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由【知识点】递推公式法求通项，裂项相消法求和.【答案解析】(1) (2) 解析 ：解：（1）（解法一） 3分整理得 两式相减得 5分即 ，即 7分 数列是等差数列 且，得，则公差 8分（解法二） 3分整理得等式两边同时除以得 ， 5分即 6分累加得
15、 得 8分（2） 由（1）知 10分 12分 则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要 存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为14分【思路点拨】（1）当遇到和的关系式为递推公式时，常用思维是化“单一”，只含项或只含和的形式，然后再寻求概念或裂项相消法进一步求通项；（2）先裂项相消求和，再放缩法即可得结果.20（本小题满分14分）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【知识点】椭圆方程，直线与椭圆的位置关系.【答案解析】(1) (2)恒过定点 (,0
16、) 解析 ：解：（1）由题： 左焦点 (c,0) 到点P(2,1) 的距离为：d = 2分由可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2c 2 = 3 3分 OxyPABF1F2A2l所求椭圆 C 的方程为 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 212 = 0x1 + x2 = ，x1x2 = ， 6分且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + mAB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 = 0 7分所以 (x12,y1)(x22,y2) = (x12) (x2
17、2) + y1y2 = (x12) (x22) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)(km2)+ m 2 + 4 = 0 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0m = k 或 m = 2k 都满足 0 12分若 m = 2k 时，直线 l 为 y = kx2k = k (x2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分若 m = k 时，直线 l 为 y = kxk = k (x)， 恒过定点 (,0) 14分【思路点拨】(1)利用两点间的距离公式可
18、得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；(2)把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得= 0，即可得出m与k的关系，从而得出答案21（本小题满分14分）已知关于的函数，其导函数为记函数 在区间上的最大值为(1) 如果函数在处有极值，试确定的值；(2) 若，证明对任意的，都有；(3) 若对任意的恒成立，试求的最大值【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【答案解析】(1) ， (2)见解析 (3) 解析 ：解：（1） ，由在处有极值，可得 ，解得，或 2分若，则，此时函数没有极值；3分 若，则,此时当变化时，的
19、变化情况如下表：极小值极大值 当时，有极大值，故，即为所求。 4分（2）证法一： 当时，函数的对称轴位于区间之外 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个 ，即 8分证法二（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外， 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个，假设，则，将上述两式相加得: 6分 ,得，产生矛盾， 所以 8分（3） （i）当时，由（2）可知； 9分（ii）当时，函数的对称轴位于区间之内，此时，由，有 若，则，则， 于是 11分 若，则，则于是 13分综上可知，对任意的、都有而当，时，在区间上的最大值 ，故对任意的、恒成立的的最大值为。 14分【思路点拨】(
20、1)对函数求导，由题意可得，代入可求b，c，代入验证，找出符合条件的值(2)（法1）代入整理，结合|b|1的条件判断函数f（x）的对称轴与区间-1，1的位置关系，从而求出该函数在-1，1上的最大值M，则Mf（1），Mf（-1），可证（法2）利用反证法：假设M2，由（1）可知M应是g（-1）和g（1）中较大的一个，则有，代入产生矛盾(3)（法1）Mk恒成立kMmin，转化为求M的最小值当|b|1，结合（II）讨论|b|1两只情况讨论，此时M=maxg（-1），g（1），g（b），结合条件推理论证（法2）仿照法1，利用二次函数在区间-1，1的图象及性质求出M=g（-1），g（1），g（b），求出M的最小值。