1、第二章函数、导数及其应用第十二节导数的综合应用第二课时导数与函数的零点问题课时规范练A组基础对点练1(2020蚌埠市模拟)已知函数f(x)x2ln x的图像在点处的切线斜率为0.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若g(x)f(x)mx在区间(1，)上没有零点，求实数m的取值范围解析：(1)f(x)x2ln x的定义域为(0，)，f(x)2x.因为f1a0，所以a1，f(x)x2ln x，f(x)2x.令f(x)0，得x；令f(x)0，得0xx，令yx，则y1.当x1时，y0，所以yx在(1，)上单调递减，所以当x1时，ymax1，故m1，即m2，)2(2020西宁市模拟)函数f(x)ax2
2、(1a)xln x(a0)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，方程f(x)mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围解析：(1)f(x)(x0)，当a0时，f(x)，令f(x)0，得0x1，令f(x)0，得x1，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，(1，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，得x11，x21，令f(x)0，得0x1，或x，令f(x)0，得1x，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；当a1时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，01，令f(x)0，得0x，或x1，令f(x)0，得x1，函数f(x)在和(1，)上单调递增
3、，上单调递减；综上所述：当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，)；当0a1时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)和，单调递减区间为；当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a1时，函数f(x)的单调递增区间为和(1，)，单调递减区间为.(2)当a0时，f(x)xln x，由f(x)mx，得xln xmx，又x0，所以m1，要使方程f(x)mx在区间1，e2上有唯一实数解，只需m1有唯一实数解，令g(x)1(x0)，g(x)，由g(x)0得0xe；g(x)0得xe，g(x)在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数g(1)1，g(e)1，g(e
4、2)1，故1m1或m1.B组素养提升练3(2020德州模拟)已知函数f(x)mx2xln x.(1)若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；(2)当0m时，若曲线C：yf(x)在点x1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围解析：(1)f(x)2mx1，即2mx2x10时，由于函数y2mx2x1的图像的对称轴x0，故需且只需0，即18m0，解得m.故0m，综上所述，实数m的取值范围为.(2)f(1)m1，f(1)2m，故切线方程为ym12m(x1)，即y2mxm1.从而方程mx2xln x2mxm1在(0，)上有且只有一解设g(x
5、)mx2xln x(2mxm1)，则g(x)在(0，)上有且只有一个零点又g(1)0，故函数g(x)有零点x1.则g(x)2mx12m.当m时，g(x)0，又g(x)不是常数函数，故g(x)在(0，)上单调递增函数g(x)有且只有一个零点x1，满足题意当0m1，由g(x)0，得0x；由g(x)0，得1x.故当x在(0，)上变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，1)1g(x)00g(x)极大值极小值根据上表知g0，故在上，函数g(x)又有一个零点，不满足题意综上所述，m.4(2020乐山市模拟)已知函数f(x)x3x2，g(x)mx，m是实数(1)若f(x)在x1处取得极小值，求m
6、的值；(2)若f(x)在区间(2，)为增函数，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，函数h(x)f(x)g(x)有三个零点，求m的取值范围解析：(1)f(x)x2(m1)x，由f(x)在x1处取到极小值，得f(1)1(m1)0，m0，检验m0时，f(x)x3x2，f(x)x(x1)，令f(x)0，解得x1或x0，令f(x)0，解得0x1，故f(x)在(，0)递增，在(0，1)递减，在(1，)递增，故在x1处取得极小值，符合题意；所以m0.(2)f(x)x2(m1)x，f(x)在区间(2，)为增函数，f(x)x(xm1)0在区间(2，)上恒成立，xm10恒成立，即mx1恒成立，由x2，得m1，m的范围是(，1(3)h(x)f(x)g(x)x3x2mx，h(x)(x1)(xm)0，解得xm，x1，m1时，h(x)(x1)20，h(x)在R上是增函数，不合题意，m1时，令h(x)0，解得xm，x1，令h(x)0，解得mx1，h(x)在(，m)，(1，)上递增，在(m，1)递减，h(x)极大值h(m)m3m2，h(x)极小值h(1)，要使f(x)g(x)有3个零点，需，解得m1.m的范围是(，1)
