1、第四章章末跟踪测评(时间：120分钟满分：150分)(见跟踪测评P13)考点对应题号错题序号：_错因分析：基础训练能力提升1.空间点、直线、平面之间的位置关系1,2,3,7,13,1412,162.直线、平面平行的判定及性质5,1719,223.直线、平面垂直的判定及性质4,6,8,9,10,11,1518,20,21一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若平面平面，直线a平面，点B平面，则在平面内过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B一定不存在与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一一条与a平行的直线D解
2、析因为平面平面，直线a平面，点B平面，所以Ba，过直线a与点B作平面，则平面与平面的交线即为与a平行的唯一直线故选D项2给出以下命题：过平面外一直线有且仅有一个平面和这个平面平行；如果一个平面经过另一个平面的斜线，那么这两个平面不可能垂直；若直角ABC在平面内的射影仍是直角三角形，则平面ABC平面.其中正确命题的个数为()A0B1C2D3A解析对于，平面外的直线有两类，其一是与平面相交的直线，其二是与平面平行的直线，显然不正确；对于，由线面垂直的判定与性质容易判断是错误的；对于，平面ABC与平面也有可能相交，因此不正确故选A项3下列选项中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是
3、()ABCDD解析在A图中，分别连接PS，QR，易证PSQR，所以这四点共面；在B图中，过P，Q，R，S可作一六边形，如图所示，所以四点共面；在C图中，分别连接PQ，RS，易证PQRS，所以四点共面；在D图中，连接PS，RQ，易知PS与RQ为异面直线，所以四点不共面故选D项4菱形ABCD在平面内，PC，则PA与对角线BD的位置关系是()A平行B相交但不垂直C相交垂直D异面垂直D解析PC平面，则PCBD，又在菱形ABCD中，ACBD，故BD平面PAC又PA平面PAC，故BDPA显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三
4、点的截面图形是()A等边三角形B矩形C 等腰梯形D以上都有可能D解析当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图；当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图.6如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD解析因为在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD又
5、平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，则CDAB又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC故选D项7已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABmBACm CABDACD解析直线AC有可能不在平面内，所以它可以与平面平行或斜交，故不一定垂直8在空间四边形ABCD中，若AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ2，QR，PR3，则异面直线AC和BD所成的角是()A90B60 C45D30A解析如图，因为()22232，所以QR2PQ2PR2，所以PQ
6、R90.因为ACPQ，BDQR，所以异面直线AC与BD所成的角就是直线PQ与QR所成的角即PQR.所以直线AC与BD所成的角为90.9已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则nB解析A项中，若m，n，则mn或m与n相交或m与n异面；由线面垂直的定义知B项正确；C项中，若m，mn，则n或n；D项中，若m，mn，则n或n与斜交或n.故选B项10在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是()A15B30 C45D60B解析如图所示，连接AC交BD于点O，易证AC平面DD1B1B
7、，连接B1O，则CB1O即为B1C与对角面DD1B1B所成的角，设正方体的棱长为a，则B1Ca，COa，所以sinCB1O.所以CB1O30.11将正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，点C到达点C1，则异面直线AB与C1D所成的角是()A90B60 C45D30B解析如图，ABCD，则C1DC为异面直线AB与C1D所成的角设BD的中点为O，连接OC，OC1，则C1OC90.令AB2，则OCOC1，C1C2.又CDC1D2，所以C1DC为等边三角形，所以C1DC60，所以异面直线AB与C1D所成的角是60.12如图所示，在正四棱锥SABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的
8、中心)中，E是BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC，则动点P的轨迹与SCD组成的相关图形最有可能是图中的()A解析如图所示，连接BD与AC相交于点O，连接SO，取SC的中点F，取CD的中点G，连接EF，EG，FG.因为E，F分别是BC，SC的中点，所以EFSB，EF平面SBD，SB平面SBD，所以EF平面SBD，同理可证EG平面SBD又EFEGE，所以平面EFG平面SBD由题意得SO平面ABCD，所以ACSO.因为ACBD，SOBDO，所以AC平面SBD，所以AC平面EFG，所以ACGF，所以点P在直线GF上，故A项正确二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共2
9、0分把答案填在题中横线上)13在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的关系是_.解析如图，连接BD交AC于点O，连接EO.在BDD1中，EOBD1，BD1平面AEC，EO平面AEC，所以BD1平面ACE.答案平行14已知在ABC中，BAC90，P为平面ABC外一点，且PAPBPC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是_.解析因为PAPBPC，所以P在ABC所在平面上的射影必落在ABC的外心上又外心在BC上，设为O，则PO平面ABC又PO平面PBC，所以平面PBC平面ABC答案垂直15如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，侧
10、棱AA1底面ABC，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.解析由题意可得B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，设AFx，则A1F3ax，由RtCAFRtFA1D，得，即，解得xa或x2a.答案a或2a16设直线l平面，过平面外一点A且与l，都成30角的直线有_条解析如图，和成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABCACB30且BCl时，直线AC，AB都满足条件，故有2条答案2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)如图，在
11、四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点(1)求证：DE平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形证明(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DEPC又因为DE平面BCP，PC平面BCP，所以DE平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF，所以四边形DEFG为平行四边形又因为PCAB，所以DEDG，所以四边形DEFG为矩形18(12分)(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)
12、若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积解析(1)证明：因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C1平面AA1B1B，BE平面AA1B1B，所以B1C1BE，又BEEC1，B1C1EC1C1，且EC1平面EB1C1，B1C1平面EB1C1，所以BE平面EB1C1.(2)设长方体侧棱长为2a，则AEA1Ea，由(1)可得EB1BE，所以EBBE2BB，即2BE2BB，所以2(AE2AB2)BB，又AB3，所以2a2184a2，解得a3；取BB1中点F，连接EF，因为AEA1E，所以EFAB，所以EF平面BB1C1C，所以四棱锥EBB1C1C的体积为VEBB1C1CS矩形BB1C1C
13、EFBCBB1EF36318.19(12分)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)求证：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积解析(1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC同理可证EFBC所以GHEF.(2)如图，连接AC，BD，交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC同理可得POBD又BDACO，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO平面ABCD又平
14、面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK平面ABCD，从而GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2，得EB：ABKB：DB1：4，从而KBDBOB，即K为OB的中点由POGK，得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积为SGK318.20(12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值解析(1)证明：因为四边形AB
15、CD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，所以ADB90，即ADBD，又AEBD，且AEADA，所以BD平面AED(2)如图，取BD的中点G，连接CG，FG.因为CBCD，所以CGBD又FC平面ABCD，BD平面ABCD，所以FCBD又FCCGC，所以BD平面FCG，所以BDFG.所以FGC为二面角FBDC的平面角在等腰BCD中，因为BCD120，所以CGCB又CBCF，所以GFCG，故cosFGC.所以二面角FBDC的余弦值为.21(12分)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C
16、1C1，ABBCB1B2.(1)求证：AB1平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值解析(1)证明：由AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，得AB1A1B12，所以A1BABAA.故AB1A1B1.由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC得B1C1，由ABBC2，ABC120得AC2，由CC1AC，得AC1，所以ABB1CAC，故AB1B1C1.因此AB1平面A1B1C1.(2)如图，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连接AD由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1，由C1DA1B1得C1D平面ABB1，所以C1A
17、D是AC1与平面ABB1所成的角由B1C1，A1B12，A1C1得，cosC1A1B1，sinC1A1B1，所以C1D，故sinC1AD.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.22(12分)如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E和F分别为BC和A1C的中点(1)求证：EF平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小解析(1)证明： 如图，连接A1B在A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA(2)证明：因为
18、ABAC，E为BC的中点，所以AEBC因为AA1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，从而BB1AE.又因为BCBB1B，所以AE平面BCB1.又因为AE平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NEB1B，NEB1B，故NEA1A且NEA1A，所以A1NAE，且A1NAE.又因为AE平面BCB1，所以A1N平面BCB1，从而A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角在ABC中，可得AE2，所以A1NAE2.因为BMAA1，BMAA1，所以A1MAB，A1MAB又由ABBB1，有A1MBB1.在RtA1MB1中，可得A1B14.在RtA1NB1中，sinA1B1N，所以A1B1N30.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30.
