1、专题一 平衡中的临界和极值问题 学科素养养成1临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述2极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题3常见临界条件的判断(1)“刚开始滑动”临界条件是：静摩擦力达到最大值(2)“两物体恰好分离”临界条件是：两物体间的压力为零(3)“刚好断开”临界条件是：绳的张力最大4解决极值和临界问题的三种方法：极限法正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个
2、物理量推向极大或极小数学分析法通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)图解分析法根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值典例分类突破1 图解法分析法2020沈阳市模拟如图所示，三根长度均为 L 的轻绳分别连接于 C、D 两点，A、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距 2L.现在 C 点上悬挂一个质量为 m 的重物，为使CD 绳保持水平，在 D 点上可施加力的最小值为()Amg B.33 mg C.12mg D.14mg解析：对 C 点进行受力分析
3、，由平衡条件可知，绳 CD 对 C点的拉力 TCDmgtan 30，对 D 点进行受力分析，绳 CD 对 D点的拉力 T2TCDmgtan 30，故 T2 是恒力，T1 方向一定，则T1 与 T3 的合力与 T2 等值反向，如图所示，由图知当 T3 垂直于绳BD 时，T3 最小，由几何关系可知，T3TCDsin 6012mg，选项C 正确答案：C审题指导：题干关键隐含信息1“三根长度均为 L 的细绳，A，B 两端相距 2L”可求得 AC 绳与天花板的夹角为 60(2)“CD 绳保持水平”C 点受到 CD绳水平向右的拉力，C 点处于平衡状态3“D 点上可施加力的最小值”归结为最值问题，用图解法或
4、解析法求解2 数学方法分析法质量为 m10 kg 的木箱置于水平地面上，它与地面间动摩擦因数 33，受到一个与水平方向成 角斜向上的拉力 F，为使木箱做匀速直线运动，拉力 F 的最小值以及此时 分别是()A50 N 30 B50 N 60C.2003 N 30 D.2003 N 60解析：木箱受力分析如图所示，由平衡条件得，Fcos Ff，Fsin FNmg，FfFN，由以上各式解得，Fmgcos sin mg12sin，其中 tan 1 3，则 60，当 90时，拉力 F 有最小值，故 30，F mg1250 N，选项 A 正确，B、C、D 错误答案：A3 极限分析法2020河北冀州模拟如图
5、所示，质量为 m(可以看成质点)的小球 P，用两根轻绳 OP和 OP 在 P 点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m 的 O、O两点上，绳 OP 长 0.5 m，绳 OP长 0.3 m，今在小球上施加一方向与水平成 37角的拉力 F，将小球缓慢拉起绳 OP 刚拉直时，OP 绳拉力为 FT1，绳 OP 刚松弛时，OP 绳拉力为 FT2，则 FT1:FT2为(sin 370.6，cos 370.8)()A3:4 B4:3C3:5 D4:5解析：绳 OP 刚拉直时，由几何关系可知此时 OP 绳与竖直方向夹角为 37，小球受力如图甲，则 FT145mg.绳 OP 刚松弛时，小球受力如图乙，则 FT2
6、43mg.则 FT1:FT23:5，C 选项正确答案：C素养提升训练1.2020云南师大附中质检如图所示，质量为 m 的小球与细线连接且静止于光滑斜面上，斜面足够长，倾角 30的斜面体置于光滑水平面上，用水平力 F 推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高当细线拉力最小时，推力 F 等于()A.34 mg B.32 mgCmg D.3mg解析：小球受力动态平衡如图，可知当FT平行于斜面时FTminmgsin 30，对小球和斜面体组成的系统，FFTmincos 30 34mg，A 正确答案：A2.2020汕头模拟重力都为 G 的两个小球 A 和 B 用三段轻绳如图所示连接后悬挂在 O
7、点上，O、B 间的绳子长度是 A、B间的绳子长度的 2 倍，将一个拉力 F 作用到小球 B 上，使三段轻绳都伸直且 O、A 间和 A、B 间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力 F 的最小值为()A.12G B.33 GCG D.2 33 G解析：对 A 球受力分析可知，因 O、A 间绳竖直，则 A、B 间绳上的拉力为 0.以 B 球受力分析如图所示，则可知当 F 与 O、B 间绳垂直时 F最小，FminGsin，其中 sin l2l12，则 Fmin12G，故 A 项正确答案：A3将两个质量均为 m 的小球 a、b 用细线相连后，再用细线悬挂于 O 点，如图所示用力 F 拉小球 b，使
8、两个小球都处于静止状态，且细线 Oa 与竖直方向的夹角保持 30，则 F 的最小值为()A.33 mg BmgC.32 mg D.12mg解析：以 a、b 为整体，整体受重力 2 mg、细线 Oa 的拉力FT 及拉力 F 三个力而平衡，如图所示，三力构成的矢量三角形中，当力 F 垂直于细线拉力 FT 时有最小值，且最小值 F2mgsinmg，B 项正确答案：B4.2020上饶一模如图所示，一根轻弹簧穿在固定直杆 AB上，轻弹簧的上端固定在 A 点，一个小球套在杆上并与弹簧的下端连接，直杆与竖直线的夹角 53，小球与杆之间的动摩擦因数为 0.9，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当小球在杆上静止时，弹
9、簧的变化量始终处于弹性限度内，弹簧的最大压缩量与最大伸长量的比值为()A1:4 B1:6C1:9 D1:11解析：当弹簧被压缩，压缩量最大时小球有向下运动的趋势，摩擦力的方向向上，则：kx1mgsin 37mgcos 37当弹簧被拉长，拉长量最大时小球有向上运动的趋势，摩擦力的方向向下，则kx2mgsin 37mgcos 37代入数据，联立得：x1x2 111，故 A、B、C 错误，D 正确答案：D5一个质量为 1 kg 的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为 6 N，(g10 m/s2)，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数，最小拉力与水平方向的夹角
10、，正确的是()A34，0 B34，tan 34C34，tan 43 D35，tan 35解析：受力分析如图所示，因为物体处于平衡状态，水平方向有 Fcos FN，竖直方向有 Fsin FNmg.联立可解得 Fmgcos sin mg12sin，tan 1，当 90，即 arctan 时，sin()1，F 有最小值：Fmin mg12，代入数值得 34，此时，tan tan 34.答案：B6如图所示，质量 m1 kg 的物块在与水平方向夹角为 37的推力 F 作用下静止于墙壁上，物块与墙之间的动摩擦因数 0.5，推力 F 应满足什么条件？(取最大静摩擦力等于滑动摩擦力)解析：当 F 较大时，物块会有向上滑动的趋势，摩擦力向下，当物块恰不上滑时，力 F 有最大值(受力如图甲所示)所以：FNFmaxcos Fmaxsin FfmgFfFmaxsin mg又 FfFN由以上各式代入数据可以得出：Fmax50 N.当力 F 较小时，物块有向下滑动的趋势，摩擦力向上，所以当物块恰不下滑时，力 F 有最小值(受力如图乙所示)，由平衡条件可得出：FNFmincos Fminsin Ffmg0FfmgFminsin 又 FfFN由以上各式代入数据可以得出：Fmin10 N所以使物块静止于墙壁上推力 F 的取值范围为：10 NF50 N.答案：10 NF50 N
