1、第 3 讲 平面向量的数量积及应用举例第四章 平面向量1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则_就是向量 a 与 b 的夹角(2)范围：设 是向量 a 与 b 的夹角，则 0180.(3)共线与垂直：若 0，则 a 与 b_；若 180，则 a 与 b_；若 90，则 a 与 b_AOB同向反向垂直2平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量_叫做 a 与 b 的数量积，记作 ab 投影_叫做向量 a 在 b 方向上的投影，_叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影_的乘
2、积|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos 3.向量数量积的运算律(1)ab_；(2)(a)b(ab)_；(3)(ab)c_.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 结论几何表示坐标表示模|a|_|a|_ 夹角cos _cos _ab 的充要条件 _baa(b)acbcaax21y21ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22ab0 x1x2y1y201辨明三个易误点(1)0 与实数 0 的区别：0a00，a(a)00，a000；0 的方向是任意的，并非没有方向，0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关
3、系(2)ab0 不能推出 a0 或 b0，因为 ab0 时，有可能 ab.(3)abac(a0)不能推出 bc，即消去律不成立2有关向量夹角的两个结论(1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 ab0，反之不成立(因为夹角为 0 时不成立)；(2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 ab0，所以b，e1b，e230.由 be11，得|b|e1|cos 301，所以|b|1322 33.(1)利用数量积求解长度的方法|a|2a2aa；|ab|2a22abb2；若 a(x，y)，则|a|x2y2.(2)求两个非零向量的夹角的注意事项 向量的数量积不满足结合律；数量积大于 0 说明不共线的
4、两个向量的夹角为锐角；数量积等于 0 说明两个向量的夹角为直角；数量积小于 0 且两个向量不共线时两个向量的夹角就是钝角 题点通关角度一、三 求两向量的夹角及两向量垂直问题1(2017昆明模拟)若非零向量 a，b 满足|a|2 23|b|，且(ab)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为()A4B2C34DA 解析 由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即 3a2ab2b20.又因为|a|2 23|b|，设a，b，即 3|a|2|a|b|cos 2|b|20，所以83|b|22 23|b|2cos 2|b|20.所以 cos 22.又因为 0，所以 4.角度二 求向量的模2(2017
5、兰州模拟)设 xR，向量 a(x，1)，b(1，2)，且 ab，则|ab|()A 5B 10C2 5D10B 解析 因为 ab，所以 x20 x2，所以 ab(3，1)|ab|10，故选 B.角度四 求参数值或范围3已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若AE AF 1，则 的值为_2解析 如图，由题意可得AB AD|AB|AD|cos 1202212 2，在菱形 ABCD 中，易知AB DC，AD BC，所以AE AB BE AB 13AD，AF AD DF 1 AB AD，AE AF AB 13AD 1 AB AD 4
6、4321 13 1，解得 2.向量数量积的综合应用典例引领(2017福州模拟)已知函数 f(x)ab，其中 a(2cos x，3sin 2x)，b(cos x，1)，xR.(1)求函数 yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)1，a 7，且向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，求边 b 和 c 的值【解】(1)f(x)ab2cos2x 3sin 2x 1cos 2x 3sin 2x 12cos2x3，令 2k2x32k(kZ)，解得 k6xk3(kZ)，所以 f(x)的单调递减区间为k6，k3(kZ)(2)因为 f(A
7、)12cos2A3 1，所以 cos2A3 1.又32A373，所以 2A3，即 A3.由 a 7与余弦定理得 a2b2c22bccos A(bc)23bc7.因为向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，所以 2sin B3sin C.由正弦定理得 2b3c，由，可得 b3，c2.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 (2017广州海
8、珠区摸底考试)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且 mn35.(1)求 sin A 的值；(2)若 a4 2，b5，求角 B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影解(1)由 mn35，得 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B35，所以 cos A35.因为 0Ab，所以 AB，则 B4，由余弦定理得4 2 252c225c35，解得 c1.故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA|cos Bccos B1 22 22.平面向量与不等式的交汇(2015高考福建卷)已知AB AC，|AB|1
9、t，|AC|t.若点 P 是ABC 所在平面内的一点，且AP AB|AB|4AC|AC|，则PBPC的最大值等于()A13 B15C19 D21A【解析】以点 A 为原点，AB，AC 所在直线分别为 x 轴、y轴建立平面直角坐标系，如图 则 A(0，0)，B1t，0，C(0，t)，所以 AB|AB|(1，0)，AC|AC|(0，1)，所以AP AB|AB|4AC|AC|(1，0)4(0，1)(1，4)，所以点 P 的坐标为(1，4)，PB1t1，4，PC(1，t4)，所以PBPC11t4t161t4t 1741713.当且仅当1t4t，即 t12时取“”，所以PBPC的最大值为 13.求平面向
10、量数量积的最值(或取值范围)的常用方法有两种：一是“定义法”，即利用平面向量数量积的定义，把两个向量的数量积转化为关于参数的函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值(或取值范围)；二是“坐标法”，即把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示，结合解析几何的思想方法求其最值(或取值范围)已知 x，y 满足yx，xy2，xa，若OA(x，1)，OB(2，y)，且OA OB 的最大值是最小值的 8 倍，则实数 a 的值是()A1 B13C14D18D 解析 因为OA(x，1)，OB(2，y)，所以OA OB 2xy，令 z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数 z2xy 过点(1，1)时，zmax2113，目标函数 z2xy 过点(a，a)时，zmin2aa3a，所以 383a，解得 a18.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
