1、13.2基本图形位置关系13.2.1平面的基本性质学 习 目 标核 心 素 养1.借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面(重点)2会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系(易错点)3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用(重点、难点)1. 通过对空间点、线、面位置关系的学习，培养学生直观想象素养2借助于三个基本事实与推论的应用，培养学生逻辑推理素养.一望无尽的草原、平静的湖面给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？你能想象数学中“平面”的描述吗？生活中用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，为什么？木匠师傅将一把直尺置于桌面上，
2、通过检查桌面是否平整，你能从数学的角度加以解释么？1平面的概念及表示(1)平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念它没有厚薄，是无限延展的(2)平面的表示方法图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)字母表示平面通常用希腊字母，表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面、平面AC等(3)点、线、面位置关系的符号表示位置关系符号表示点P在直线AB上PAB点C不在直线AB上CAB点M在平面AC内M平面AC点A1不在平面AC内A1平面AC直线AB与直线BC交于点BABBCB直线AB在平面AC内AB平面AC直
3、线AA1不在平面AC内AA1平面AC2平面的基本性质(1)平面的基本性质基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面基本事实1也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内用符号表示为：AB.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线用符号表示为：l且Pl. (2)基本事实的推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面1如果直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，且Ml，Nl，那么下列说
4、法正确的是()AlBlClMDlNAMa，Nb，a，b，M，N.而M，N确定直线l，根据基本事实2可知l.故选A2下列说法正确的是()A三点可以确定一个平面B一条直线和一个点可以确定一个平面C四边形是平面图形D两条相交直线可以确定一个平面DA错误，不共线的三点可以确定一个平面B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面C错误，四边形不一定是平面图形D正确，两条相交直线可以确定一个平面3如图所示，用符号可表达为_m，n且mnA由题图可知平面与平面相交于直线m，且直线n在平面内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：m，n且mnA三种语言的转换【例1】(1)如图所示，用符号表示下列图形中点、直
5、线、平面之间的位置关系(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC”，并画出图形思路点拨根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化解(1)l，m，n，lnP，lm.a，b，c，abcO，aO.(2)符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC图形表示如图1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示2要注意符号语言的意义如点与直线的位置关系只能用“”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示3由符号语言或文字语言画相应的图形
6、时，要注意实线和虚线的区别跟进训练1根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系(1)(2)图(1)可以用几何符号表示为_图(2)可以用几何符号表示为_答案(1)AB，a，b，aAB，bAB，ab(2)l，mA，mB，Al，Bl点线共面问题【例2】已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面思路点拨法一：法二：证明如图法一：ab，a，b确定平面.又laA，lbB，l上有两点A，B在内，即直线l.a，b，l共面同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内故a，b，c，l共面法二：ab，过a，b确定平面，又Aa，Bb，AB，即l.又bc，过b，c确定平面，而Bb，Cc，BC
7、，即l.b，l，b，l，而blB，与重合，故a，b，c，l共面在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内确定一个平面的方法有：直线和直线外一点确定一个平面；两条平行线确定一个平面；两条相交直线确定一个平面(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合跟进训练2证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内解已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C求证：直线l1，l2，l3在同一平面内法一：l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.又Bl3，C
8、l3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内法二：l1l2A，l1，l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内共线，共点问题探究问题1把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？提示由图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？提示交于一点证明：如图所示，连接EF，D
9、1C，A1BE为AB的中点，F为AA1的中点，EFA1B又A1BD1C，EFD1C，E，F，D1，C四点共面，且EFD1C，D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCDP为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据基本事实，可得PDA，即CE，D1F，DA相交于一点【例3】如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23，求证：EF，GH，BD交于一点思路点拨先证明GH和EF共面且交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根
10、据基本事实3，两平面相交，有且只有一条交线因此点O在交线上，即点O在直线BD上从而证明了直线EF，GH，BD都过点O.证明E，G分别为BC，AB的中点，GEAC，GEAC又DFFCDHHA23，FHAC，FHACFHGE，FHGE.四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.O在平面ABD内，又在平面BCD内，O在这两平面的交线上而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，点O在直线BD上EF，GH，BD交于一点证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由基本事实3完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上跟进
11、训练3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于点O.求证：O，B，C三点共线证明如图，可知平面AC平面BC1BCO为平面BC1与平面AC的公共点又平面AC平面BC1BC，OBC，即O，B，C三点共线.1本节课的重点是理解平面的概念，会画一个平面并会表示平面，会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系难点是掌握三个基本事实并会简单应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)理解平面的概念及空间图形画法要求；(2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法；(3)证明点、线共面的方法；(4)证明点共线、线共面的方法3本节课的易错点是平面
12、基本性质运用中忽略重要条件1已知点A，直线a，平面，以下命题表述不正确的个数()Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA.A1 B2C3D4D不正确，如aA；不正确，“a”表述错误；不正确，如图所示，Aa，a，但A；不正确，“A”表述错误2(多选题)下列命题正确的是()A梯形一定是平面图形B若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行C两两相交的三条直线最多可以确定三个平面D若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合AC对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确；对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，故B错误；对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误故选AC3空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为_3当三条直线不共面时确定平面个数最多，为3个4在正方体ABCDA1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由解设ACBDM，C1DCD1N，连接MN，则平面ACD1平面BDC1MN，如图理由如下：点M平面ACD1，点N平面ACD1，所以MN平面ACD1.同理，MN平面BDC1，平面ACD1平面BDC1MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1的交线
