1、2020-2021学年江西省新余市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合Ax|xin，nN，集合，其中i为虚数单位，则集合A与集合B的关系是（）AABBBACABDAB2是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知向量（2，1，5），（4，y，z），且，则y+z（）A8B12C8D124若椭圆和双曲线1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cosF1PF2的值为（）ABCD5若函数f（x）x2+lnx在x1处取得极小值，则f（x）的最小值为（）A3B4C5D66已知点P是抛物线C：y24x上一点，点F为
2、抛物线C的焦点，点M（2，1），则PMF的周长的最小值为（）A3B1CD7若函数f（x）x+tsinx在（0，）上单调递增，则实数t的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C2，+）D1，+）8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）AMNCDB直线MN与平面ABCD所成角为45CMN平面ADD1A1D异面直线MN与DD1所成角为609将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（）A193B192C174D17310已知（x+4）5a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a3（x+2）3+a4（x+
3、2）4+a5（x+2）5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5（）A242B243C404D40511已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点，ABC60，AC2，球O的表面积为，则三棱锥PABC的体积的最大值为（）A2BCD12已知函数f（x）是定义在（0，+）的可导函数，f（x）为其导函数，当x0且x1时，若曲线yf（x）在x1处的切线的斜率为1，则f（1）（）AB0CD1二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13（x2sinx+）dx 14用数学归纳法证明34n+2+52n+1（nN）能被14整除时，当nk+1时，对于34（k+1）+2+52（k+1）+1应变形为 15在正方体ABC
4、DA1B1C1D1中，点E是线段A1B1的中点，则直线BE与DA1所成角的余弦值是 16若曲线ylnx在点P（x1，y1）处的切线与曲线yex相切于点Q（x2，y2），则 三、解答题（共6小题，第17题10分，第18题、第19题、第20题、第21题、第22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器（1）求航天器变轨
5、后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？18已知aR，设p：x2，3，（a+1）x10恒成立，q：x0R，使得x02+ax0+10（）若pq是真命题，求a的取值范围；（）若p（q）为假，p（q）为真，求a的取值范围19如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，ADAB，ADBC，且ABADBC1，AA1DC（1）求证：平面BDD1B1平面CDD1C1；（2）求二面角CBD1C1所成角的余弦值20某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克
6、）满足关系式y+10（x6）2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克（）求a的值；（）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大21已知椭圆C：的离心率为，点F1，F2是椭圆C的左、右焦点，点P是C上任意一点，若PF1F2面积的最大值为（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l1：与椭圆C在第一象限的交点为M，直线l2：与椭圆C交于A，B两点，连接MA，MB，与x轴分别交于P，Q两点，求证：MPQ始终为等腰三角形22已知函数（）若f（x）0，求实数a的取值范围；（）若有两个极值点分别为x1，x2（x1x2），求2g（x
7、1）g（x2）的最小值参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合Ax|xin，nN，集合，其中i为虚数单位，则集合A与集合B的关系是（）AABBBACABDAB解：由题意得Ai，1，i，1，所以Bi，1，i，1A故选：C2是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：当时，cos（2+）cos212cos2，反之不一定成立，故选：A3已知向量（2，1，5），（4，y，z），且，则y+z（）A8B12C8D12解：因为向量（2，1，5），（4，y，z），且，所以，则有，解得y2，z10，所以y+z8故选：A4若椭圆和双曲线1的共同焦点为F1，F
8、2，P是两曲线的一个交点，则cosF1PF2的值为（）ABCD解：由题可知，焦距F1F26，不妨设点P是双曲线右支上的一点，由椭圆和双曲线的定义可知，解得，在PF1F2中，由余弦定理可知，cosF1PF2故选：A5若函数f（x）x2+lnx在x1处取得极小值，则f（x）的最小值为（）A3B4C5D6解：（1）f（x）x2+lnx，f（x）2x，函数f（x）x2+lnx在x1处取得极小值，2a+10，a3，函数f（x）x2+lnx，可知x（0，1），函数是减函数，x（1，+）函数是增函数，满足在x1处取得极小值，f（1）4则f（x）的最小值为：4故选：B6已知点P是抛物线C：y24x上一点，点F
9、为抛物线C的焦点，点M（2，1），则PMF的周长的最小值为（）A3B1CD解：由题意可得M在抛物线的内部，过M向抛物线的准线作垂线交准线于N交抛物线于P，PMF中，三角形的周长为：|MF|+|PM|+|PF|，由抛物线的性质，可得|MF|+|PM|+|PN|MF|+|MN|，由抛物线的方程可得，抛物线的准线方程为x1，所以|MN|2（1）3，|MF|，所以三角形的周长的最小值为：2+，故选：D7若函数f（x）x+tsinx在（0，）上单调递增，则实数t的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C2，+）D1，+）解：f（x）1+tcosx0在（0，）恒成立，故t在（0，）恒成立，y在（0，）递减
10、，故y的最大值小于1，故t1，故选：D8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）AMNCDB直线MN与平面ABCD所成角为45CMN平面ADD1A1D异面直线MN与DD1所成角为60解：如图，连结BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MNA1D，而MN平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，MN平面ADD1A1，故C正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD平面ADD1A1，则CDA1D，MNA1D，MNCD，故A正确；直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45，故B正确；而A1DD1为异面直线M
11、N与DD1所成角，应为45，故D错误故选：D9将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（）A193B192C174D173解：根据题意，由数表可得：每一行的第一个数字依次为1、2、4、7、，则第n行的第一个数字为+1，则第20行的第一个数字为191，故第20行从左向右的第3个数为193；故选：A10已知（x+4）5a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a3（x+2）3+a4（x+2）4+a5（x+2）5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5（）A242B243C404D405解：设x+2t，可知原式变为，两边同时求导可得 令t1，可得a1+2a2+
12、3a3+4a4+5a5405，故选：D11已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点，ABC60，AC2，球O的表面积为，则三棱锥PABC的体积的最大值为（）A2BCD解：球O的表面积为，设球的半径为R，可得4R2，解得R，底面三角形ABC 的外接圆的半径为r，2r，解得r，如图，底面三角形的外心为G，可知底面三角形是正三角形时，A到BC 的距离球的最大值，面积的最大值为：，P与底面三角形的顶点的连线恰好是正三棱锥时，三棱锥的高取得最大值，PGPO+OG+2，所以棱锥的体积的最大值为：故选：B12已知函数f（x）是定义在（0，+）的可导函数，f（x）为其导函数，当x0且x1时，若曲线yf（x）在
13、x1处的切线的斜率为1，则f（1）（）AB0CD1解：当x0且x1时，可得x1时，2f（x）+xf（x）0；0x1时，2f（x）+xf（x）0令g（x）x2f（x），x（0，+），g（x）2xf（x）+x2f（x）x2f（x）+xf（x）可得：x1时，g（x）0；0x1时，g（x）0可得函数g（x）在x1处取得极值，g（1）2f（1）+f（1）0，由f（1）1，可得f（1），故选：C二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13（x2sinx+）dx2解：因为yx2sinx是奇函数，所以根据奇函数的积分性质可知，表示圆心在原点半径为2的上半圆，此时半圆的面积为，所以根据积分的几何意义知所以故答案
14、为：214用数学归纳法证明34n+2+52n+1（nN）能被14整除时，当nk+1时，对于34（k+1）+2+52（k+1）+1应变形为34（34k+2+52k+1）5652k+1解：34（k+1）+2+52（k+1）+134（34k+2+52k+1）5652k+1故答案为：34（34k+2+52k+1）5652k+115在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是线段A1B1的中点，则直线BE与DA1所成角的余弦值是 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则B（2，2，0），E（2，1，2），D（0，0，0），A1
15、（2，0，2），（0，1，2），（2，0，2），设直线BE与DA1所成角为，则cos故答案为：16若曲线ylnx在点P（x1，y1）处的切线与曲线yex相切于点Q（x2，y2），则0解：ylnx的导数为y，可得ylnx在点P（x1，y1）处的切线方程为ylnx1（xx1），yex的导数为yex，可得在点Q（x2，y2）处的切线的方程为ye（xx2），由两条切线重合的条件，可得e，且lnx11e（1x2），则x2lnx1，即有lnx11（1+lnx1），可得lnx1，则+x2lnx1lnx10故答案为：0三、解答题（共6小题，第17题10分，第18题、第19题、第20题、第21题、第22题各12
16、分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解：（1）设曲线方程为，由题意可知，曲线方程为（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知得4y27y360，y4或（不合题意，舍去）y
17、4得x6或x6（不合题意，舍去）C点的坐标为（6，4），答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为时，应向航天器发出变轨指令18已知aR，设p：x2，3，（a+1）x10恒成立，q：x0R，使得x02+ax0+10（）若pq是真命题，求a的取值范围；（）若p（q）为假，p（q）为真，求a的取值范围解：（I）若p为真，即p：x2，3，（a+1）x10恒成立，所以，解得a，若q为真，即q：x0R，使得x02+ax0+10，则a240，解得，a2或a2，若pq是真命题，则p，q为真，所以a2，故a的范围（2，+），（II）因为p（q）为假，p（q）为真，所以p（q）一真一假即p，q同真同假，当p，q
18、都真时，由（I）知a2，当p，q都假时，即2，综上，2或a2故a的范围a|2或a219如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，ADAB，ADBC，且ABADBC1，AA1DC（1）求证：平面BDD1B1平面CDD1C1；（2）求二面角CBD1C1所成角的余弦值【解答】（1）证明：因为ADAB，所以BC2，因为，所以BD2+DC2BC2，所以BDC90，即BDCD因为AA1底面ABCD，所以DD1底面ABCD，所以BDDD1因为DD1CDD，DD1平面CDD1C1，CD平面CDD1C1，所以BD平面CDD1C1，又BD平面BDD1B1，所以平面BDD1B1平面CDD1C1（
19、2）解：如图，分别以DB，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），所以，设平面CBD1的法向量为，则，令x1，得设平面C1BD1的法向量为，则，令a1，得，所以，由图知二面角CBD1C1为锐角，所以二面角CBD1C1所成角的余弦值为20某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y+10（x6）2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克（）求a的值；（）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：（）因为x5时，y11，
20、所以+1011，故a2（）由（）可知，该商品每日的销售量y所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f（x）10（x6）2+2（x3）（x6）30（x6）（x4）于是，当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表： x（3，4）4 （4，6） f（x）+0 f（x） 单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大21已知椭圆C：的离心率为，点F1，F2是椭圆C的左、右焦点，点P是C上任意一点，若PF1F2面积的最大值为（
21、1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l1：与椭圆C在第一象限的交点为M，直线l2：与椭圆C交于A，B两点，连接MA，MB，与x轴分别交于P，Q两点，求证：MPQ始终为等腰三角形解：（1）由，a2b2+c2，可得，由PF1F2面积的最大值为知，解得，c4，椭圆C的方程为（2）证明：联立，解得M（3，1），联立，得2x2+6mx+9m2180，直线l2与椭圆C交于A，B两点，（6m）242（9m218）0，2m2，且m0，设直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又x1+x23m，则，k1+k20，从而MPQ始终为等腰三角形22已知函数（）若f（x）0，求实数a的取值范围；（）若有两个极值点分别为x1，x2（x1x2），求2g（x1）g（x2）的最小值解：（）因为，所以，由f（x）0得或当a0时，因为，不满足题意，当a0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，于是，解得e3a0，所以a的取值范围为e3，0）（）函数g（x）lnx+x2ax，定义域为（0，+），因为x1，x2是函数g（x）的两个极值点，所以x1，x2是方程2x2ax+10的两个不等正根，则有a280，得，对称轴，故，且有，令，则，当时，h（t）单调递减，当t（1，+）时，h（t）单调递增，所以，所以2g（x1）g（x2）的最小值为
