1、第四节指数与指数函数授课提示：对应学生用书第20页基础梳理1根式(1)根式的概念若xna，则x叫作a的n次方根，其中n1且nN.式子叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数a的n次方根的表示：xnax(2)根式的性质()na(nN)2有理数指数幂(1)幂的有关概念：正分数指数幂：a(a0，m，nN，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN，且n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图像及性质函数yax(a0，且a1)图像0a1a
2、1图像特征在x轴上方，过定点(0，1)当x逐渐增大时，图像逐渐下降当x逐渐增大时，图像逐渐上升性质定义域R值域(0，)单调性减增函数值变化规律当x0时，y1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y11一个关注点开方化简，要看n的奇偶性2指数函数图像和性质的注意点(1)指数函数yax(a0，a1)的图像和性质与a的取值有关，应分a1与0a1来研究(2)画指数函数yax(a0，且a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.3指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关
3、系为cd1ab.规律：在y轴右(左)侧图像越高(低)，其底数越大4指数函数图像的对称规律函数yax的图像与yax的图像关于y轴对称，yax的图像与yax的图像关于x轴对称，yax的图像与yax的图像关于坐标原点对称四基自测1(基础点：有理数指数幂运算)化简(2)6(1)0的结果为()A9B7C10 D9答案：B2(基础点：指数函数图像)函数f(x)1ex的图像大致是()答案：A3(基础点：指数函数解析式)若函数f(x)ax(a0，且a1)的图像经过点A，则f(1)_答案：4(易错点：指数函数性质)函数y(ax1)ex过定点_答案：(0，1)授课提示：对应学生用书第21页考点一实数指数幂的化简与
4、求值例(1)化简(x0，y0)的结果为()A2x2yB2xyC4x2y D2x2y解析(16x8y4)24(x)8(y)424(x)8(y)42(x)2(y)2x2y.答案D(2)22(0.01)0.5.解析原式111.破题技法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式来表示，运用指数幂的运算性质来解答将本例(1)中的“x0，y0”去掉后，如何化简该式解析：2|x2y|.考点二指数函数的图像及
5、应用挖掘1由解析式辨识图像/ 自主练透例1(1)(2020河北武邑中学调研)函数ye|x1|的大致图像是()解析当x1时，y1，排除C、D.当x1时，ye(x1)为减函数，排除A.故选B.答案B(2)函数f(x)1e|x|的图像大致是()解析f(x)1e|x|是偶函数，图像关于y轴对称，又e|x|1，所以f(x)的值域为(，0，因此排除B、C、D，只有A满足答案A(3)(2020浙江镇海中学检测)不论a为何值，函数y(a1)2x恒过定点，则这个定点的坐标是()A(1，)B(1，)C(1，) D(1，)解析y(a1)2xa(2x)2x，令2x0，得x1，故函数y(a1)2x恒过定点(1，)答案C
6、破题技法对于yax(a0，a1)当a(0，1)且a逐渐变大时，图像右端(第一象限逐渐变“高”)，图像逐渐接近y1，当a1时，图像就是直线y1.当a(1，)时，a逐渐变大，在第一象限内图像逐渐接近于y轴总之，图像过定点(0，1)，在第一象限内，逆时针方向看，底数逐渐变大挖掘2利用图像研究问题/ 互动探究例2(1)函数f(x)axb的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0解析由f(x)axb的图像可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图像是在f(x)ax的图像的基础上向左平移得到的，所以b0，故选D
7、.答案D(2)(2020衡水模拟)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_ 解析曲线|y|2x1与直线yb的图像如图所示，由图可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1，1答案1，1破题技法与指数函数有关图像问题的求解方法(1)已知函数解析式判断其图像，一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论在例2(2)中，将曲线变为y|2x1|，与直线yb有且只有一个公共点，则b的取值范围是_解
8、析：y|2x1|其图像如图所示，要使yb与曲线只有一个公共点必须b1或b0，当b0或b1时，yb与曲线只有一个公共点答案：01，)考点三指数函数的性质及应用挖掘1指数型函数的定义域、值域/ 互动探究例1(1)函数y的值域是()A(，4)B(0，)C(0，4 D4，)解析设tx22x1，则y.因为t(x1)222，y为关于t的减函数，所以0y4，故所求函数的值域为(0，4答案C(2)函数y1在x3，2上的值域是_解析因为x3，2，若令t，则t.则yt2t1.当t时，ymin；当t8时，ymax57.所以所求函数值域为.答案1将本例(1)变为y2，其值域如何？答案：，)2将本例(1)变为ya，其值
9、域如何？答案：当0a1，值域为；当a1时，值域为挖掘2比较指数幂的大小/ 互动探究例2(1)已知f(x)2x2x，a，b，clog2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()Af(b)f(a)f(c) Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c)b0，clog2bc，所以f(c)f(b)f(a)选B.答案B(2)设函数f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N的大小关系是()AMN BMNCMN DM N解析因为f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，所以a2，所以M(
10、a1)0.21，N1，所以MN，故选D.答案D挖掘3有关指数型的不等式求解/ 互动探究例3(1)函数f(x)，满足f(f(a)2f(a)a的取值范围是()Aa Ba1C0a1 Da1解析f(x)，若f(f(a)2f(a)，则f(a)1，当a1时，3a21，3a3，a1矛盾，当a1时，2a1，显然成立，故选D.答案D(2)不等式24的解集为_解析不等式24可转化为222，利用指数函数y2x的性质可得，x2x2，解得1x2，故所求解集为x|1x2答案x|1x2破题技法1.形如axab的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论2形如axb的不等式，注意将
11、b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数yax的单调性求解3解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论4利用复合函数判断形如yaf(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关5对于函数yaf(x)和复合函数yf(ax)的定义域、值域常利用换元法，其关键点：(1)函数yaf(x)的定义域与f(x)的定义域相同f(ax)的定义域：使ax在f(x)的定义域内，解指数不等式(2)yaf(x)的值域：先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定yaf(x)的值域(3)yf(ax)的值域：先确定ax的值域、再利用f(x)的性质确定yf(ax)的值域解不等式4x2x180.解析：原不等式为(2x)222x80，(2x2)(2x4)0，2x0恒成立，2x20，x1，解集为1，)
