1、课后限时集训(五十二)椭圆及其性质建议用时：40分钟一、选择题1(2019北京高考)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2 B3a24b2Ca2b D3a4bB由题意，得，则，4a24b2a2，即3a24b2.故选B2已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A B(1，)C(1,2) DC由题意得解得1k2.故选C3(2020皖南八校联考)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)过点F1的直线与C交于A，B两点若ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为()A1 B1C1 D1C根据椭圆的定义知ABF2的周长为4a8，a2，又c1，b2a2c23，椭圆C的标
2、准方程为1.4以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为()A B1 C DB设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设2c，则c，c.由椭圆定义，得2a|DF1|DF2|cc，所以e1，故选B5(2020武邑模拟)点P在焦点为F1(4,0)和F2(4,0)的椭圆上，若PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为()A1 B1C1 D1C由题意，2c8，即c4， PF1F2面积的最大值为16，2cb16，即4b16，b4，a2b2c2161632.则椭圆的标准方程为1.故选C6已
3、知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点若A1PA2的最大值可以取到120，则椭圆C的离心率为()A B C DD由题意知，当点P在椭圆的短轴端点处时，A1PA2有最大值，则tan 60，即.所以e211，即e，故选D二、填空题7已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为 (5,0)圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标为(3,0)，c3.又b4，a5.椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(5,0)8(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为
4、(3，)不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)9已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足120的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 满足120的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有cb，即c2b2，又b2a2c2，所以c2a2c2，即2c2a2，所以e2，又因为0e1，所以0e.三、解答题10已知点P是圆F1：(x1)2y216上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，
5、N两点求点M的轨迹C的方程解由题意得F1(1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，且|MF2|MP|，从而|MF1|MF2|MF1|MP|PF1|4|F1F2|2，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，所以点M的轨迹方程为1.11.如图所示，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|，即bc.所以ac，e.(2)由题意知A(0，b)，F2
6、(1,0)，设B(x，y)，由2，得解得x，y.代入1，得1.即1，解得a23.所以椭圆方程为1.1(2020潍坊三模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，给出以下四个结论： |QF1|QP|的最小值为21椭圆C的短轴长可能为2椭圆C的离心率的取值范围为若，则椭圆C的长轴长为则上述结论正确的是()A B C DC因为|F1F2|2，所以F2(1,0)，|PF2|1，所以|QF1|QP|2|QF2|QP|2|PF2|21，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故正确；若椭圆C的短轴长为2，则b1，a2，所以椭圆方程为1，1，则
7、点P在椭圆外，故错误；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以1，又ab1，所以ba1，所以1，即a23a10，解得a，所以，所以e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故正确；若，则F1为线段PQ的中点，所以Q(3，1)，所以1，又ab1，即a211a90，解得a，所以，所以椭圆C的长轴长为，故正确故选C2.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a
8、2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正确式子的序号是()A B C DD观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由a1c1a2c20，c1c20知，即a1c2，即式正确，式不正确故选D3(2020豫州九校联考)椭圆C：1(ab0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F(3,0)为椭圆C的右焦点，求的取值范围解因为椭圆C的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2a2c4b，即ac2b.F(3,0)为椭圆C的右焦点，所以c3.在椭圆中，a2c2b2，所以，解方程组得所以椭圆方程为1.设P(m，n)(0m
9、5)，则1，则n216m2.所以(m，n)(3m，n)3mm2n23mm2m23m16.因为0m5，所以当m时，取得最大值为，当m趋近于0时，的值趋近于16.所以的取值范围为.1(2020北京模拟)已知椭圆G：1(0b)的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|PB2|PF1|PF2|，当b变化时，给出下列三个命题：点P的轨迹关于y轴对称；|OP|的最小值为2；存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，其中，所有正确命题的序号是 椭圆G：1(0b)的两个焦点分别为F1(，0)和F2(，0)，短轴的两个端点分别为B1(0，b)和B2(0，b)，设
10、P(x，y)，点P在椭圆G上，且满足|PB1|PB2|PF1|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|PB2|2a22b，即有P在椭圆1上，对于，将x换为x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，故正确；对于，由图象可得，当P满足x2y2，即有6b2b2，即b时，|OP|取得最小值，可得x2y22时，即有|OP|2取得最小值为2，故正确；对于，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0b，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P有2个，故不正确故答案为.2(2019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解(1)连接PF1(图略)，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)
