1、单元素养评价(一)(第一章)(120分钟 150分)一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)1已知向量 a()2，3，1，b()1，2，4，则 ab()A(1，1，5)B(3，5，3)C(3，5，3)D(1，1，5)【解析】选 A.ab(2，3，1)(1，2，4)(1，1，5).2已知向量 a(2，4，5)，b(3，x，y)分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1l2，则()Ax6，y15 Bx3，y15Cx83，y103Dx6，y152【解析】选 D.因为 l1l2，所以 ab，所以x4 y5 32，所以 x6，y152.3若 a(1，2)，b(2，1，2)，c(1，4，4)，且 a，
2、b，c 共面，则()A1 B1 C1 或 2 D1【解析】选 A.向量 a，b，c 共面，所以存在实数 m，n 使得 cmanb，所以1m2n4mn42m2n，解得 1.4在平面 ABCD 中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(1，0，1)，若 a(1，y，z)，且 a 为平面 ABCD 的法向量，则 y2 等于()A2 B0 C1 D无意义【解析】选 C.由题得，AB(1，1，0)，AC(1，1，2).又 a 为平面 ABCD 的法向量，则有aAB 0aAC 0，即1y01y2z0，则 y1，那么 y21.5如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，pi()i1
3、，2，8是上底面上其余的八个点，则AB iAP()i1，2，8的不同值的个数为()A.1 B2 C4 D8【解析】选 A.iAP AB iBP，则AB iAP AB(AB iBP)|AB|2AB iBP，因为AB iBP，所以AB iBP 0，所以AB iAP|AB|21，所以AB iAP (i1，2，8)的不同值的个数为 1.6在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量AB，AD，1AA 两两的夹角均为 60，且|AB|1，|AD|2，|1AA|3，则|1AC|等于()A5 B6 C4 D8【解析】选 A.如图，因为在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量AB，AD，AA1
4、 两两的夹角均为 60，且|AB|1，|AD|2，|1AA|3，所以1AC AB BC 1CC，所以21AC(AB BC 1CC)2AB2BC221CC 2AB BC 2AB 1CC 2BC 1CC 149212cos 60213cos 60223cos 6025，所以|AC1|5.7如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A1B1C1D1，AB1，BC2，AA13，则点 B 到直线 A1C 的距离为()A.27 B2 357 C 357 D1【解析】选 B.过点 B 作 BE 垂直 A1C，垂足为点 E，设点 E 的坐标为(x，y，z)，则 A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，
5、2，0)，1A C(1，2，3)，1A E(x，y，z3)，BE(x1，y，z).因为111A E/A CBE A C0,所以x1y2z33，x12y3z0，解得x57，y107，z67，所以BE 27，107，67，所以点 B 到直线 A1C 的距离|BE|2 357.8如图，在等腰 RtABC 中，ABAC，BC2，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点，D 为线段 BM 上一个动点(异于两端点)，ABD 沿 AD 翻折至 B1DDC，点 A 在平面 B1CD 上的投影为点 O，当点 D 在线段 BM 上运动时，以下说法不正确的是()A.线段 NO 为定长BAMOB1DA180CCO(
6、1，2)D点 O 的轨迹是圆弧【解析】选 B.翻折后的立体图形，如图所示对 A，因为点 A 在平面 B1CD 上的投影为点 O，所以 AO平面 B1CD，又 CO平面 B1CD，所以 AOCO，故 AOC 为直角三角形，又 N 为斜边 AC 的中点，所以 ON12 AC 22为定长故 A 正确对 B.AMD90，BDA90，所以 B 不正确对 C，当 D 在 M 处时，此时点 A 在平面 B1CD 上的投影为点 O 与 M 重合，故 CO1，又在 Rt AOC 中，OCAC 2，因为 D 为线段 BM 上一个动点(异于两端点)，所以 OC(1，2).故 C 正确对 D，因为 ON12 AC 2
7、2，N 为 AC 的中点，所以点 O 的轨迹是圆弧故 D 正确故选 B.二、多选题(每小题 5 分，共 20 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)9在以下命题中，不正确的是()A|a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件B对 ab(b0)，则存在唯一的实数，使 abC对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若OP 2OA 2OB OC，则 P，A，B，C 四点共面D|(ab)c|a|b|c|【解析】选 ACD.由|a|b|ab|，得 a 与 b 的夹角为，故是充分不必要条件，故 A 不正确；B 正确；因为 2211，由共面向量定理知，C 不正确；由向量的
8、数量积的性质知，D 不正确10已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AC1 的中点为 O，则下列互为相反向量的是()AOA OD 与11OBOCBOB OC 与11OAODC1OA OA 与OC 1OCDOA OB OC OD 与1111OAOBOCOD【解析】选 ACD.如图，根据图形可看出：选项 A，D 的两向量互为相反向量；OBOC CB，1OA 1OD 11D A，CB 11D A，所以选项 B 的两向量不是相反向量；1OA OA 1AA，OC 1OC 1C C，1AA 和1C C互为相反向量，所以选项 C 的两向量互为相反向量11如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
9、AA1AB4，BC2，M，N 分别为棱 C1D1，CC1 的中点，则下列说法正确的是()A.A，M，N，B 四点共面BBN平面 ADMC直线 BN 与 B1M 所成角的为 60D平面 ADM平面 CDD1C1【解析】选 CD.由图显然 AM，BN 是异面直线，故 A，M，N，B 四点不共面，故 A 错误；BN平面 AA1D1D，显然 BN 与平面 ADM 不平行，故 B 错误；取 CD 的中点 O，连接 BO，ON，可知三角形 BON 为等边三角形，故 C 正确；由题意 AD平面 CDD1C1，故平面 ADM平面 CDD1C1，故 D 正确12在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F
10、分别是 A1D1 和 C1D1 的中点，则下列结论正确的是()AA1C1平面 CEFBB1D平面 CEFCCE 12 DA 1DD DCD点 D 与点 B1 到平面 CEF 的距离相等【解析】选 AC.对 A，因为 E，F 分别是 A1D1 和 C1D1 的中点，故 EFA1C1，故A1C1平面 CEF 成立对 B，建立如图空间直角坐标系，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，则1B D(2，2，2)，FC(0，1，2).故1B DFC 02420.故1B D，FC 不互相垂直又 CF 属于平面 CEF.故1B D平面 CEF 不成立对 C，同 B 空间直角坐标系有CE(1，2，
11、2)，12 DA 1DD DC12(2，0，0)(0，0，2)(0，2，0)(1，2，2).故CE 12 DA 1DD DC 成立对 D，点 D 与点 B1 到平面 CEF 的距离相等，则点 D 与点 B1 连线的中点 O 在平面 CEF 上连接 AC，AE，易得平面 CEF 即平面 CAEF.又点 D 与点 B1 连线的中点 O 在平面 A1ACC1 上，故点 O 不在平面 CEF 上故 D 不成立三、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13如图，以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4，3
12、，2)，则1AC 的坐标为_【解析】因为1DB 的坐标为(4，3，2)，所以 A(4，0，0)，C1(0，3，2)，所以1AC(4，3，2).答案：(4，3，2)14已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，1A E1411A C，异面直线 AE 与 BD1所成角的余弦值是_；若BE xAB yAD z1AA，则 x_【解析】如图建立空间坐标系，设正方体棱长为 4，易得 A(4，0，0)，E(3，1，4)，B(0，0，0)，D1(4，4，4)，所以AE(1，1，4)，1BD(4，4，4)，所以异面直线 AE 与 BD1 所成角的余弦值是441611161616162 69.由BE xAB
13、yAD z1AA，可得：(3，1，4)x(4，0，0)y(0，4，0)z(0，0，4)即 34x，所以 x34.答案：2 69 3415正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，若动点 P 在线段 BD1 上运动，则DC AP的取值范围是_【解析】以DA 所在的直线为 x 轴，以DC 所在的直线为 y 轴，以 DD1 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系则 D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1).所以DC(0，1，0)，1BD(1，1，1).因为点 P 在线段 BD1 上运动，所以BP 1BD(，)，且 01.所以AP AB BP
14、 DC BP()，1，所以DC AP 10，1.答案：0，116将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C，有如下几个结论：ACBD；ACD 是等边三角形；AB 与平面 BCD 所成的角为 60；AB 与 CD 所成的角为 60.其中正确的结论的序号是_【解析】如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz，设正方形 ABCD 的边长为 2，则 D(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，0，1)，A(0，1，0)，所以AC(0，1，1)，BD(2，0，0)，AC BD 0，故 ACBD，正确又|AC|2，|CD|2，|AD|2，所以 ACD 为等边三角形，正确对于，OA 为平面
15、BCD 的法向量，cos AB，OA AB OA|AB|OA|（1，1，0）（0，1，0）2 112 22，因为直线与平面所成的角的范围是0，90，所以 AB 与平面 BCD 所成角为 45，故错误又 cos AB，CD AB CD|AB|CD|（1，1，0）（1，0，1）2 212.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以 AB 与 CD 所成的角为 60，故正确答案：四、解答题(共 70 分)17(10 分)如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 BB1 的中点，AB2，AA14.(1)若DE xDA yDC z1DD，求 xyz；(2)以 D 为坐标原点，建立如图所示的
16、空间直角坐标系 Dxyz，写出 A1，C，D1，E的坐标，并求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值【解析】(1)因为在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 BB1 的中点，所以DE DB BE DA DC 121DD，又DE xDA yDC z1DD，所以 xy1，z12；所以 xyz1112 52.(2)由题意，以及题中坐标系可得：A1(2，0，4)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，E(2，2，2)，则DE(2，2，2)，1CD(0，2，4)，从而 cos DE，CD111DE CD|DE|CD|42 32 5 1515，故异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值
17、为 1515.18(12 分)如图，在直角梯形 AA1B1B 中，A1AB90，A1B1AB，ABAA12A1B12，直角梯形 AA1C1C 通过直角梯形 AA1B1B 以直线 AA1 为轴旋转得到，且使得平面 AA1C1C平面 AA1B1B.M 为线段 BC 的中点，P 为线段 BB1 上的动点(1)求证：A1C1AP.(2)当点 P 满足BP 21PB 时，求证：直线1A C平面 AMP.【证明】由已知可得，A1A，AC，AB 两两垂直，以 A 为原点，AC，AB，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，因为 ABAA12A1B12，所以 A(0，0，0)，B(0，
18、2，0)，C(2，0，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(1，0，2)，M(1，1，0).(1)11A C(1，0，0)，11A B(0，1，0)，1AA(0，0，2)，所以11A C 11A B(1，0，0)(0，1，0)0，11A C 1AA(1，0，0)(0，0，2)0，所以11A C 11A B，11A C 1AA，即 A1C1A1B1，A1C1AA1，AA1A1B1A1，所以 A1C1平面 AA1B1B，又因为 AP平面 AA1B1B，所以 A1C1AP.(2)设 P 点坐标为(x，y，z)，则BP(x，y2，z)，1PB(x，1y，2z).因为BP 21PB，所以
19、x2x，y222y，z42z，解得 x0，y43，z43，即 P0，43，43.设平面 AMP 的一个法向量 n(m，n，p)，因为AM(1，1，0)，AP 0，43，43，所以AM n0APn0，即mn043n43p0，令 m1，则 n1，p1，得 n(1，1，1).又1A C(2，0，2)，所以 A1Cn(2，0，2)(1，1，1)210(1)(2)10.所以直线 A1C平面 AMP.19(12 分)已知圆柱 OO1 底面半径为 1，高为，四边形 ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点 D，其距离最短时在侧面留下的曲线 如图所示将轴截面 ABCD 绕着轴
20、 OO1 逆时针旋转(0)后，边 B1C1与曲线 相交于点 P.(1)求曲线 的长度；(2)当 2 时，求点 C1 到平面 APB 的距离【解析】(1)曲线 的长度为矩形的对角线长度其中矩形的宽为圆柱的高，长为底面的半圆长，其中 AD，底面的半圆长为12 21，所以 的长为 2.(2)当 2 时，建立如图所示的空间直角坐标系：则有 A(0，1，0)，B(0，1，0)，P1，0，2，C1(1，0，)，所以AB(0，2，0)，AP 1，1，2，1OC(1，0，).设平面 ABP 的法向量为 n(x，y，z)，则nAB 0nAP 0，代入可得2y0 xy2z0，令 z2，得 n(，0，2)，所以点
21、C1 到平面 PAB 的距离为 d1|OC n|n|24.20(12 分)在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，BDDC，点 E 是 BC 的中点将ABD 沿 BD 折起，使 ABAC，连接 AE，AC，DE，得到三棱锥 A-BCD.(1)求证：平面 ABD平面 BCD；(2)若 AD1，二面角 C-AB-D 的余弦值为 77，求二面角 B-AD-E 的正弦值【解析】(1)因为在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，所以 ABAD，因为 ABAC，ACADA，所以 AB平面 ADC，所以 ABCD，因为 BDDC，ABBDB，所以 CD平面 ADB，因为 CD 在平面 BCD 内
22、，所以平面 ABD平面 BCD.(2)由(1)知 AB平面 ADC，所以二面角 C-AB-D 的平面角为CAD，因为 CD平面 ADB，所以 ADCD，所以 cos CADADAC 1AC 77，得 AC 7，所以 CD 6，设 ABx，则 BDx21，由题意可知 ABDDCB，所以ABCD ADBD，即 x6 1x21，解得 x 2，所以 BD 3，BC3，如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则D(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，6，0)，A33，0，63，E32，62，0，所以DA 33，0，63，DE 32，62，0，因为 CD平面 ADB，所以令平面 ADB 的法向量为 m
23、(0，1，0)，设平面 AED 的法向量为 n(x，y，z)，则nDA 0nDE 0，即 33 x 63 z032 x 62 y0，取 y1，则 x 2，z1，所以 n(2，1，1)，设二面角 B-AD-E 的平面角为，则|cos|mn|m|n|11 211 12，所以 sin 1122 32，所以二面角 B-AD-E 的正弦值为 32.21(12 分)四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形，PO底面 ABCD，O，E 分别是 AD，AB 的中点，AB6，AP5，BAD60.(1)求证：ACPE；(2)求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值【解析】(1)由菱形的性质可得：ACBD，结合三角形
24、中位线的性质可知：OEBD，故 OEAC，又 PO底面 ABCD，AC底面 ABCD，故 ACOP，且 OPOEO，故 AC平面 POE，PE平面 POE，所以 ACPE.(2)由题意结合菱形的性质易知 OPOA，OPOB，OAOB，以点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.则 P(0，0，4)，B(0，3 3，0)，O(0，0，0)，E32，32 3，0，设平面 POE 的一个法向量为 m(x，y，z)，则mOP4z0mOE 32x32 3y0，据此可得平面 POE 的一个法向量为 m(3，1，0)，而PB()0，3 3，4，设直线 PB 与平面 POE 所成角为，则 s
25、in|PBm|PB|m|3 32 43 386129.22(12 分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答ABBC；FC 与平面 ABCD 所成的角为6；ABC3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA平面 ABCD，且 PAAB2，PD 的中点为 F.(1)在线段 AB 上是否存在一点 G，使得 AF平面 PCG？若存在，指出 G 在 AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；(2)若_，求二面角 F-AC-D 的余弦值【解析】(1)在线段 AB 上存在中点 G，使得 AF平面 PCG.证明如下：如图所示；设 PC 的中点为 H，连接 FH，GH
26、，所以 FHCD，FH12 CD，AGCD，AG12 CD，所以 FHAG，FHAG，所以四边形 AGHF 为平行四边形，则 AFGH，又 GH平面 PGC，AF平面 PGC，所以 AF平面 PGC.(2)选择ABBC：因为 PA平面 ABCD，所以 PABC，由题意知 AB，AD，AP 两两垂直，以 AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，因为 PAAB2，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，所以AF(0，1，1)，CF(2，1，1)，设平面 FAC 的一个法向量为(x，y，z)所以AFyz0C
27、F2xyz0，取 y1，得(1，1，1)，平面 ACD 的一个法向量为 v(0，0，1)，设二面角 F-AC-D 的平面角为，则 cos|v|v|33，所以二面角 F-AC-D 的余弦值为 33.选择FC 与平面 ABCD 所成的角为6：因为 PA平面 ABCD，取 BC 中点 E，连接 AE，取 AD 的中点 M，连接 FM，CM，则 FMPA，且 FM1，所以 FM平面 ABCD，FC 与平面 ABCD 所成角为FCM，所以FCM6，在 Rt FCM 中，CM 3，又 CMAE，所以 AE2BE2AB2，所以 BCAE，所以 AE，AD，AP 两两垂直，以 AE，AD，AP 分别为 x，y
28、，z 轴，建立空间直角坐标系，因为 PAAB2，所以 A(0，0，0)，B(3，1，0)，C(3，1，0)，D(0，2，0)，E(3，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，所以AF(0，1，1)，CF(3，0，1)，设平面 FAC 的一个法向量为 m(x，y，z)，则mAFyz0mCF 3xz0，取 x 3，得 m(3，3，3)，平面 ACD 的一个法向量 n(0，0，1)，设二面角 F-AC-D 的平面角为，则 cos|mn|m|n|217.所以二面角 F-AC-D 的余弦值为 217.选择ABC3，因为 PA平面 ABCD，所以 PABC，取 BC 中点 E，连接 AE，因为底面
29、ABCD 是菱形，ABC60，所以 ABC 是正三角形，因为 E 是 BC 的中点，所以 BCAE，所以 AE，AD，AP 两两垂直，以 AE，AD，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，因为 PAAB2，所以 A(0，0，0)，B(3，1，0)，C(3，1，0)，D(0，2，0)，E(3，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，所以AF(0，1，1)，CF(3，0，1)，设平面 FAC 的一个法向量为 m(x，y，z)，则mAFyz0mCF 3xz0，取 x 3，得 m(3，3，3)，平面 ACD 的一个法向量 n(0，0，1)，设二面角 F-AC-D 的平面角为，则 cos|mn|m|n|217，所以二面角 F-AC-D 的余弦值为 217.
