1、重点校期末联考高三数学第 1 页（共 11 页）20202021 学年度第一学期期末七校联考高三数学第 I 卷（选择题）一、单选题：共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 M 1,2，N x Zx2 2x 3 0，则 M N （）A1,2B1,3C1D1,22对于实数 a、b，b a 0 是 11ba的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3函数2()(2)e xf xxx的图象大致是（）ABCD4某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20，40)，40，60)，
2、60，80)，80，100若低于 60 分的人数是 18 人，则参加体能测试的学生人数是（）A45B48C50D60重点校期末联考高三数学第 2 页（共 11 页）5已知三棱锥 ABCD的四个顶点 ABCD、都在半径为3 的球O 的表面上，AC 平面 BCD，32BDBC，5CD，则该三棱锥的体积为（）A 2 153B153C156D 156已知定义在 R 上的函数 fx 满足 6,3fxfxyfx为偶函数，若 fx 在(0,3)内单调递减则下面结论正确的是（）A1210ln2ffefB12ln210feffC12ln210fffeD12ln210ffef7已知双曲线2222:1(0,0)xy
3、Cabab的左焦点为 F，以 OF 为直径的圆与双曲线 C 的 渐 近 线 交 于 不 同 于 原 点 O 的 A B，两 点，若 四 边 形 AOBF 的 面 积 为2212 ab，则双曲线C 的渐近线方程为（）A22yx B2yx C yx D2yx 8己知函数()2(coscos)sinf xxxx，给出下列四个命题：)(xf的最小正周期为()f x 的图象关于直线4x对称()f x 在区间,4 4 上单调递增()f x 的值域为2,2其中所有正确的编号是（）A.B.C.D.9已知函数()f x=2(4,0,log(1)13,03)axaxaxxx（0a,且1a）在 R 上单调递减，且关
4、于 x 的方程|()|2f xx恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A20,3B 2 33 4，C 1 233 34 ，D 1 233 34 ，重点校期末联考高三数学第 3 页（共 11 页）第 II 卷（非选择题）二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题纸中相应的横线上.10 i 是虚数单位，复数1312ii _.11371()xx的展开式中5x 的系数是_.（用数字填写答案）12已知圆22:2260Cxyxy，直线 l 过点(0,3)，且与圆C 交于 AB、两点，4AB，则直线 l 的方程为_.13已知实数120,0,1abab,则 4312a
5、bab的最小值是_.14一个口袋里装有大小相同的 5 个小球，其中红色 2 个，其余 3 个颜色各不相同.现从中任意取出 3 个小球，其中恰有 2 个小球颜色相同的概率是_；若变量 X 为取出的三个小球中红球的个数，则 X 的数学期望E X _15已知扇形 AOB 半径为1，60AOB，弧 AB 上的点 P 满足,OPOAOBR，则的最大值是_；PA PB 最小值是_三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分 14 分）在ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c,已知45B，10b,1tan2C.（1）求边 a；（2）求
6、 sin(2)AB17（本小题满分 15 分）如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形，FAFC，AB=2，且60DABDBF（1）求证：AC 平面 BDEF；（2）求钝二面角 EAFB的余弦值；（3）若 M 为线段 DE 上的一点，满足直线 AM 与平面 ABF所成角的正弦值为 2 3015，求线段 DM 的长重点校期末联考高三数学第 4 页（共 11 页）18（本小题满分 15 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别是1F 和2F，离心率为 12，以 P 在椭圆 E 上，且12PF F的面积的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过椭圆C 右焦点2F，
7、交该椭圆于 AB、两点，AB 中点为Q，射线OQ 交椭圆于 P，记AOQ的面积为1S，BPQ的面积为2S，若213SS，求直线l 的方程.19（本小题满分 15 分）已知等比数列na的公比0q，且满足1236aaa，2434aa，数列nb的前n项和(1)2nn nS，*nN.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设2238,nnn nnn nbanb bca b n 为奇数为偶数，求数列nc的前 2n 项和2nT.20(本小题满分 16 分）已知函数 ln2xefxxxax，aR（1）求函数 fx 的单调区间；（2）若函数 fx 有两个不同的零点1x，2x（i）求a 的取值范围；（ii）证明
8、：22142121aaxxa重点校期末联考高三数学第 5 页（共 11 页）(,)C 0 220202021 学年度第一学期期末七校联考高三数学参考答案一、选择题123456789DAADBACBC二、填空题10、i111、3512、3y 或433yx=+13、347 14.310，6515、2 33，332 三、解答题16、（I）且，2 分3 分，6 分（II）由正弦定理得：8 分，10 分又，12 分14 分重点校期末联考高三数学第 6 页（共 11 页）17、（1）设与相交于点，连接，四边形为菱形，且 为中点，,1 分又，2 分平面.3 分（2）连接，四边形为菱形，且，为等边三角形，为中
9、点，又，平面.4 分两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，设，四边形为菱形，.为等边三角形，.，设平面的法向量为，则令，得 6 分设平面的法向量为，则令，得8 分所以又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为10 分（3）设11 分重点校期末联考高三数学第 7 页（共 11 页）所以12 分化简得13 分解得：所以.15 分18、【答案】（1）24x+23y=1；（2）1(1)2 yx.【详解】解：（1）依题意，显然当 P 在短轴端点时，12PF F的面积最大为 1232c b，即3bc，又由离心率为12cea，222abc，解得2224,3,1abc，所以椭圆 C 的方程为24x+23y=1
10、.4 分（2）因为213SS，所以 11sin3sin22 QP QBBQPQA QOAQO，所以3QPQO，所以4OPOQ，6 分当 AB 斜率不存在时，21SS，不合题意，7 分当 AB 斜率存在时，设直线方程为(1)yk x，设点1122,A x yB xy，则22112222143143xyxy，两式作差得：1212121234 yyyyxxxx，即34ABOPkk，9 分重点校期末联考高三数学第 8 页（共 11 页）故直线 OP 的方程为：34yxk，联立2234143yxkxy，解得2221634Pkxk，11 分联立341yxkyk x，解得22434Qkxk，13 分因为4P
11、Qxx，所以2224443434kkkk，14 分即214k，解得：12k ，所以直线 AB 的方程为1(1)2 yx.15 分19、（1）依题意，由1236aaa，2434aa，可得21113221164()aa qa qa qa q，因为0q，所以解得12q，112a，11 11()()2 22nnna，*nN，2 分对于数列 nb：当1n 时，111bS，当2n时，1(1)(1)22nnnn nn nbSSn，当1n 时，11b 也满足上式，nbn，*nN.4 分（2）由题意及（1），可知：重点校期末联考高三数学第 9 页（共 11 页）当 n 为奇数时，22223838111()(2)
12、22(2)2nnnnnnnnbncab bn nnn，6分当 n 为偶数时，1()2nnnnca bn，7分令1321nAccc，242nBccc，则1321nAccc133521211111111 23 23 25 2(21)2(21)2nnnn121111 2(21)2 nn21112(21)2 nn，10分2462246211112()4()6()2()2222nnBccccn ，24622211111()2()4()(22)()2()22222nnBnn，两式相减，可得2462223111112()2()2()2()2()422222nnBn ，135212211111()()()()
13、2()22222nnn，21222222211111()22112222()112211()22nnnnnn，21241()()332nn，21834 1()992nnB，13重点校期末联考高三数学第 10 页（共 11 页）分2122nnTccc13212462()()nncccccccAB21211134 18()2(21)2929nnnn21251341()()184(21)92nnn.15 分20、解：（1）函数的定义域为 0ln2xef xxxax，所以 221111xxxexexfxxxx，0 x 2 分当1x 时，0,fxf x单调递增；当 01x时，0,fxf x单调递减所以
14、fx 的单调递增区间为1,，单调递减区间为0,1 4 分（2）（i）由题意可知 10f，即1 20ea，所以12ea6 分（ii）不妨设12xx因为222ln 222ln 222aaeefaaaaaaa7 分令 21,lntetaeg ttt，21tettgtt9 分令 1th tett 则 1th tet ，10thtet，所以 h t 单调递增，又因为10he，所以 h t 单调递增因为 2110eh ee ，所以 0g t，故 g t 单调递增12 分又因为 1110eg eg ee ，所以220,2faxa设()ln1,(0,)xxxx，1(1)()1=xxxx，当(0,1)x时，重点校期末联考高三数学第 11 页（共 11 页）()0,()xx单调递增，当(1,+)x 时，()0,()xx单调递减，max()(1)0 x所以ln1xx，则112121111ln212112121212121aaeefaaaaaaa 14 分令110,21mae，所以 10mef mmm所以1121xa，所以22142121aaxxa16 分
