1、第一节 椭 圆一. 内容归纳1.知识精讲1 椭圆的两种定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹。注意：(1)椭圆的定义用点集语言叙述：点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；点集M=P| ，0e1的常数。(2)定义中的定长大于| F1F2|避免了动点轨迹是线段或不存在的情况,定义中的0e1,区别于另两种曲线。2 标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）；焦点F1（c，0）， F2（c，0）。其中（2）
2、焦点在y轴上，中心在原点：（ab0）；焦点F1（0，c），F2（0，c）。其中注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB），当AB时，椭圆的焦点在x轴上，AB时焦点在y轴上。3性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）有以下性质： 范围：|x|a，|y|b； 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b； 离心率：e=（焦距与长轴长之比）； 准线方程：；焦半径公式：P（
3、x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。焦点在y轴上，中心在原点：（ab0）的性质可类似的给出（请课后完成）。重难点：椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。2 思维方式：待定系数法与轨迹方程法。3 特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.二.问题讨论例1：(1)已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率e=_。 (2) 设椭圆上
4、的点P到右准线的距离为10，那么点P到左焦点的距离等于_。 (3)已知椭圆上的点P到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍，则P的坐标是_。解：(1)设椭圆方程为（ab0）, F1（c，0），则点，由POAB得kAB=kOP即，b=c，故。（2）由椭圆的第二定义得：点P到左焦点的距离等于12。(3)设P(x,y),F1,F2分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为，故，|PF1|=2|PF2|，故。【思维点拨】1)求离心率一般是先得到a，b，c的一个关系式，然后再求e； 2)由椭圆的一个短轴端点,一个焦点,中心O为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到；3)结合椭圆的第二定义,熟练运用
5、焦半径公式是解决第(3)小题的关键。例2：(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cosOFA=2/3。则椭圆方程为_。(2)若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OAOB，求椭圆的方程。解：(1)椭圆的长轴长是6，且cosOFA=2/3，点A不是长轴的端点。|OF|=c，|AF|=a=3，c=2，b2=5。椭圆方程是，或。(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(). 由消去y得. =1,由得; 又OAOB,x1x2+y1y2=0,即x1x2+(1-x1)(1-x2
6、)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0, a+b=2.联立得方程为.【思维点拨】“OAOBx1x2+y1y2=0”(其中A(x1,y1),B(x2,y2)是我们经常用到的一个结论.例3:已知椭圆的焦点是F1（1，0）,F2（1，0）,P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项。（1）求椭圆方程； （2）若点P在第三象限，且P F1F2=1200，求tanF1PF2。解：(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。2a=4，b=。椭圆方程为。(2)设F1PF2=,则PF2 F1=600,由正弦定理并结合等比定理可得到,化简可得,从而可求得tanF1PF
7、2=。【思维点拨】解与P F1F2有关的问题（P为椭圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且结合|PF1|+|PF2|=2a来求解。例4:（1）已知点P的坐标是(-1,3)，F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动，当取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。 （2）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，已知点P这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是的点的坐标。解(1)由椭圆方程可知a=4,b=,则c=2,椭圆的右准线方程为x=8过点Q作QQ于点Q,过点P作PP于点P,则据椭圆的第二定义知,易知当P、Q、Q在同一条线上时，即当Q与P点重合时，才能取得最小值，最
8、小值为8-(-1)=9，此时点Q的纵坐标为-3，代入椭圆方程得。 因此,当Q点运动到(2,-3)处时, 取最小值9.(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是由,解得,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d则其中,如果, 则当y=-b时,d2取得最大值解得b=与矛盾, 故必有当时d2取得最大值， 解得b=1,a=2所求椭圆方程为由可得椭圆上到点P的距离等于的点为,三、课堂小结:1.椭圆定义是解决问题的出发点,要明确参数a,b,c,e的相互关系,几何意义与一些概念的联系.尤其是第二定义,如果运用恰当,可收到事半功倍的效果(如关于求焦半径的问题).2.在椭圆的两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；3.待定系数法和数形结合是最基本的方法与思想.在解题时要熟练运用.四、课外作业： P298 能力提高
