1、课时提升作业 八空间中直线与直线之间的位置关系一、选择题(每小题4分,共12分)1.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A.异面 B.相交C.平行 D.异面或相交【解析】选D.如图所示,a,b是异面直线,AB,AC都与a,b相交,AB,AC相交;AB,DE都与a,b相交,AB,DE异面.2.下列命题中:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;如果两条相交直线和另两条直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.正确的有()A.1个
2、 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.对于,这两个角也可能互补,故错;对于,正确;对于,不正确,举反例:如图所示,BCPB,ACPA,ACB的两条边分别垂直于APB的两条边,但这两个角既不一定相等,也不一定互补;对于,由公理4可知正确.故正确,所以正确的命题有2个.3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EFAB,则EF与CD所成的角为()A.30B.45C.60D.90【解析】选A.取AD的中点H,连接FH,EH,在EFH中EFH=90,HE=2HF,从而FEH=30.二、填空题(每小题4分,共8分)4.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,
3、异面直线共有_对.【解析】AP与BC异面、BP与AC异面、PC与AB异面.答案:35.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AB=AA1,且异面直线AC1与A1B所成的角为60,则CAB等于_.【解析】由已知条件,构造正方体ABDC-A1B1D1C1,满足条件AC=AB=AA1,且异面直线AC1与A1B所成的角为60,所以CAB=90.答案:90三、解答题6.(10分)如图所示,OA,OB,OC为不共面的三条射线,点A1,B1,C1分别是OA,OB,OC上的点,且=成立.求证:A1B1C1ABC.【解题指南】由初中所学平面几何知识,可证明两内角对应相等,进而证明两个三角形相似.【证明】在OAB
4、中,因为=,所以A1B1AB.同理可证A1C1AC,B1C1BC.所以C1A1B1=CAB,A1B1C1=ABC.所以A1B1C1ABC.【误区警示】在立体几何中,常利用等角定理来证明两个角相等.此时要注意观察这两个角的方向必须相同,且能证明它们的两边对应平行.【补偿训练】已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角.【解析】如图,取AC的中点P,连接PM,PN,因为点M,N分别是BC,AD的中点,所以PMAB,且PM=AB;PNCD,且PN=CD,所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角.所以PMN(或其补角)为AB
5、与MN所成的角.因为直线AB与CD成60角,所以MPN=60或MPN=120.又因为AB=CD,所以PM=PN,若MPN=60,则PMN是等边三角形,所以PMN=60,即AB与MN所成的角为60.若MPN=120,则易知PMN是等腰三角形.所以PMN=30,即AB与MN所成的角为30.综上可知:AB与MN所成角为60或30.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016兰州高一检测)如图所示,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定不可能的是()A.l与AD平行 B.l与AB异面C.l与CD所成角为30 D.l与BD垂直【解析】选A.
6、假设lAD,则由ADBCB1C1,知lB1C1,这与“l与B1C1不平行”矛盾,所以l与AD不平行.【补偿训练】如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为()A.相交B.平行C.异面而且垂直 D.异面但不垂直【解析】选D.将展开图还原为正方体,如图所示.AB与CD所成的角为60.2.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是()A.空间四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形【解析】选B.易证四边形EFGH为平行四边形.又因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EFAC,又FGBD,所以EFG或其补角为AC与BD所成的角.而AC与BD所成的角为90,所以E
7、FG=90,故四边形EFGH为矩形.【拓展延伸】作异面直线所成角的三种方法:直接平移法(可利用图中已有的平行线);中位线平移法;补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).二、填空题(每小题5分,共10分)3.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是_.【解析】中PQRS,中RSPQ,中RS和PQ相交.答案:4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为_.【解析】设棱长为1,因为A1B1C1D1,所以AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.在AED
8、1中,AE=,cosAED1=.答案:三、解答题5.(10分)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.【解题指南】由于BCB1C1,所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可.【解析】如图所示,在面A1C1内过P作直线EFB1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求. 理由:因为EFB1C1,BCB1C1,所以EFBC.【补偿训练】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2,ABC=120,若异面直线A1B和AD1所成的角为90,试求AA1.【解析】
9、连接CD1,AC,由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,所以AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角,因为异面直线A1B和AD1所成的角为90,所以AD1C=90,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB=BC=2,所以ACD1是等腰直角三角形.所以AD1=AC,因为底面ABCD是菱形且AB=BC=2,ABC=120,所以AC=2sin 602=6,所以AD1=AC=3,所以AA1=.【拓展延伸】求两异面直线所成角的技巧求两异面直线所成角的关键在于作角,总结起来有如下“口诀”:中点、端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形柱中见,指出成角很关键;求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;平行线若在外,补上原体在外边. 关闭Word文档返回原板块
