1、第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质【素养目标】1了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系(数学抽象)2了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系(数学建模)3掌握不等式的性质及应用(逻辑推理)4会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小(数学运算)5能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题(逻辑推理)【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异第1课时不等关系与比较大小必备知识探新知基础知识知识点1 不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号，_，_或.(2)
2、所表示的关系是_.思考1：不等式“”的含义是什么？只有当“”与“”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式应读作“小于或者等于”，其含义是指“或者”，等价于“不大于”，即若或之中有一个正确，则正确知识点2 比较两实数，大小的依据思考2：(1)在比较两实数，大小的依据中，两数是任意实数吗？(2)若“”，则，的大小关系是怎样的？提示：(1)是(2)基础自测1判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)不等式的含义是指不小于.()(2)若，则.()(3)若，则.()(4)两个实数，之间，有且只有，三种关系中的一种()解析(1)不等式表示或，即不小于.(2)若，则，所以成立(3)若，则或者，即.(4
3、)任意两数之间，有且只有，三种关系中的一种，没有其他大小关系2大桥桥头立着的“限重吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量满足关系()ABC D3已知，则与的大小关系为_.关键能力攻重难题型探究题型一用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为元的商品按每件元销售，每天可销售件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润已知这种商品的售价每提高元，销售量就相应减少件若把提价后商品的售价设为元，怎样用不等式表示每天的利润不低于元？分析由“这种商品的售价每提高元，销售量就相应减少件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于元”确定不等关系，即可列出不等式解
4、析若提价后商品的售价为元，则销售量减少件，因此，每天的利润为元，则“每天的利润不低于元”可以用不等式表示为.归纳提升将不等关系表示成不等式的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量(2)用适当的不等号连接例2 某矿山车队有辆载重为的甲型卡车和辆载重为的乙型卡车，且有名驾驶员，此车队每天至少要运矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返次，乙型卡车每辆每天可往返次，写出满足上述所有不等关系的不等式分析首先用变量，分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量再将不等关系用
5、含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围解析设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则即归纳提升用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围【对点练习】用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为，试用不等式表示其中的不等关系解析由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为，所以，这时菜园的另一条边长为因此菜园面积，依题意有，即，故该题中的不等关
6、系可用不等式组表示为题型二比较实数的大小例3 已知，为正实数，试比较与的大小解析方法一(作差法)：.，为正实数，.方法二(作商法)：.，.方法三(平方后作差)：，.，.又，故.归纳提升比较大小的方法1作差法的依据：；.步骤：作差变形判断差的符号得出结论注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式2作商法的依据：时，；.步骤：作商变形判断商与的大小得出结论注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少3介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若，则，其中是与的中介值(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中
7、介值【对点练习】当时，比较与的大小解析因为，所以，而.所以，所以.第2课时不等式性质必备知识探新知基础知识知识点不等式的性质性质 _；(对称性)性质， _；(传递性)性质 _；(同加保序性)推论：_；(移项法则)性质， _，(乘正保序性)，；(乘负反序性)性质， _；(同向相加保序性)性质， _；(正数同向相乘保序性)性质 _(非负乘方保序性)思考：(1)性质的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质,时，要注意什么条件？提示：(1)移项法则(2)不对要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的
8、方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向(3)各个数均为正数基础自测1判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)若，则.()(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的()(3)设，且，则.()(4)若，则，.()解析(1)由不等式的性质，；反之，时，.(2)相乘需要看是否，而相加与正、负和零均无关系(3)符合不等式的可乘方性(4)取，满足，但不满足，故此说法错误2设，则下列不等式中一定成立的是()ABCD3已知，那么下列不等式成立的是()ABCD解析由，可得，又，故选D4用不等号“”或“”填空：(1)如果，那么_；(2)如果，那么_；(3)如果，那么_；(4)如果，那么_.解析(1)，.(2)，
9、.，.(3)，即.(4)，所以，.于是，即，即.，.关键能力攻重难题型探究例1 若，则下列结论正确的是()ABCD分析通过赋值可以排除A，D，根据不等式的性质可判断B，C正误解析若，对于A选项，当，时，不成立；对于B选项，等价于，故不成立；对于C选项，故选项正确；对于D选项，当时，不正确归纳提升判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断【对点练习】设，是非零实数，若，则下列不等式成立的是()ABCD解析当，时，不一
10、定成立，故A错因为，符号不确定，故B错.，所以，故C正确D中与的大小不能确定题型二利用不等式的性质证明不等式例2设，求证：.分析不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立证明因为，所以.所以，所以.所以.又，所以.所以.归纳提升利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则【对点练习】若，求证：.证明因为，所以.又因为，所以.所以.所以.又因
11、为，所以.题型三利用不等式的性质求范围例3 已知,.(1)求的取值范围(2)求的取值范围解析(1)因为,，所以，所以.(2)由,，得,，所以.归纳提升利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围【对点练习】已知，求与的取值范围解析因为，所以，所以，即.因为，所以，所以，又，所以，即.所以.误区警示错用同向不等式性质例4 已知,，的取值范围是_.错解,，.故填.错因分析把不等式的同向不等式
12、(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误正解，又，故填.方法点拨若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：)分别为，且，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/)分别为，且.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()ABCD分析本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小解析方法一：因为，所以，故；同理，故.又，故.综上可得，最低的总费用为.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若，则，.由此可知最低的总费用是.归纳提升对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法
