1、第3课时几何法、反证法课时过关能力提升1.用反证法证明 “如果ab,那么3a3b”的假设内容应是()A.3a=3b B.3a3bC.3a=3b,且 3a3b D.3a=3b 或 3a0,则实数p的取值范围是()A.-3,32 B.-2,15C.(-1,0)D.-12,23解析:若在-1,1内没有满足f(c)0的值c,则f(-1)0,f(1)0,解得p-12或p1,p-3或p32. 故此时p的取值范围是pp-3或p32,取补集即得所求实数p的范围,即p-3p32.答案:A4.设实数a,b,c满足a+b+c=13,则a,b,c中()A.至多有一个不大于19B.至少有一个不小于19C.至多有两个不小
2、于19D.至少有两个不小于19解析:假设a,b,c都小于19,即a19,b19,c19,则a+b+cb与ab与ab与a0”是“P,Q,R同时大于零”的条件.解析:利用反证法.充分性:由PQR0,知P,Q,R同时大于零或P,Q,R有一正两负.不妨设P0,Q0,R0,b+c-a0,c+a-b0.后两式相加,得c0,与已知矛盾,即P,Q,R同时大于零,必要性显然成立.答案:充要7.设x,y为正数,且x+y=1,则1x2-11y2-1与9的大小关系是_.解析:假设1x2-11y2-19,则1-1x2+1y2+1x2y29,故1-(x2+y2)8x2y2.x+y=1,1=(x+y)2.代入上式,得(x+
3、y)2-(x2+y2)8x2y2,2xy8x2y2,即xy(1-4xy)0.又由x+y=1,得xyx+y2=12,xy14,1-4xy0,从而xy(1-4xy)0成立.由矛盾知,假设不成立.1x2-11y2-19.答案:1x2-11y2-198.设二次函数f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.分析当要证明的几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通常采用反证法.证明假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2.另一方面,由绝对值不等式的性质,有|f(1)|+2|f(2)|+|f
4、(3)|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2.两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确,即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.9.用几何法证明:若a,b,m都是正数,且aab.证明如图,在坐标平面内,设点M(b,a),N(-m,-m),因为a,b,m都是正数,且aOM的斜率,即a+mb+mab.10.已知f(x)=1+x2,ab,且ab0.求证:|f(a)-f(b)|a-b|.分析利用f(x)=1+x2的结构特点构造几何中两点间的距离,通过三角形中的三边关系来证明.证明f(a)=1+a2表示平面上点A(
5、1,a)到点O(0,0)的距离,f(b)=1+b2表示点B(1,b)到点O(0,0)的距离.而|a-b|表示A(1,a)及B(1,b)两点间的距离,如图所示.ab,A,O,B三点组成一个三角形,由三角形两边之差的绝对值小于第三边可得|f(a)-f(b)|a-b|.11.已知函数f(x)在(-,+)上是增加的,a,bR.(1)若a+b0,求证:f(a)+f(b)f(-a)+f(-b);(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.(1)证明a+b0a-b.由f(x)在(-,+)上是增加的,得f(a)f(-b).又a+b0b-af(b)f(-a).两式相加,得f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(2)解逆命题:“如果f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),那么a+b0”成立.下面用反证法证明.假设a+b0,则a+b0a-bf(a)f(-b)a+b0b-af(b)f(-a)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).这与已知条件矛盾,故有a+b0,所以(1)中命题的逆命题成立.5
