1、高考资源网（） 您身边的高考专家自我校对圆的参数方程圆锥曲线的参数方程直线的参数方程圆锥曲线的参数方程及应用对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角的意义，要分清椭圆上一点的离心角和这点与坐标原点连线倾斜角的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式【例1】在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆y21上的一个动点，求Sxy的最大值和最小值规范解答椭圆y21的参数方程为(为参数)故设动点P(cos ，sin )，其中0,2)因此Sxycos sin 22sin，当时，S取得最大值2；当时，S取得最小值2.1一直线经过P(1,1)点，倾
2、斜角为，它与椭圆y21相交于P1、P2两点当取何值时，|PP1|PP2|有最值，并求出最值解设直线方程为(t为参数)，代入椭圆方程得(cos24sin2)t2(2cos 8sin )t10.(2cos 8sin )24(cos24sin2)0，tan ，或tan 0.|PP1|PP2|t1t2，tan2时，(|PP1|PP2|)min，此时，|PP1|PP2|无最大值.直线的参数方程及应用直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参
3、数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义【例2】直线l过点P0(4,0)，它的参数方程为(t为参数)与圆x2y27相交于A，B两点，(1)求弦长|AB|；(2)过P0作圆的切线，求切线长规范解答将直线l的参数方程代入圆的方程，得7，整理得t24t90.(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得t1t24，t1t29.故|AB|t2t1|2.(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则|P0T|2|P0A|P0B|t1t2|9，切线长|P0T|3.2已知实数x，y满足(x1)2(y1)29，求x2y2的最大值和最小值解因为实数x，y满足(x1)2(y1)2
4、9，所以点(x，y)可视为圆(x1)2(y1)29上的点，于是可利用圆的参数方程来求解设(为参数)，则x2y2(13cos )2(13sin )2116(sin cos )116sin.因为1sin1，所以116x2y2116，所以x2y2的最大值为116，最小值为116.参数法及应用参数方法是一种重要的数学方法，尤其在运动变化型问题中，若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围【例3】如图，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y22x相交于A、B两
5、点，设线段AB的中点为M，求：(1)P、M两点间的距离|PM|；(2)线段AB的长|AB|.规范解答(1)直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线的倾斜角为，tan ，sin ，cos ，直线l的参数方程为(t为参数)直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y22x中，整理得8t215t500，则(15)248(50)0.设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，由根与系数的关系，得t1t2，t1t2，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|.(2)|AB|t2t1|，因此线段AB的长为.3在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数，且00)，求点P到直线l距离的最
6、大值解(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos ，4sin )，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x(04cos )2cos ，y(04sin )2sin ，所以点P的坐标为(2cos ，2sin )，因此点P的轨迹的参数方程为(为参数，且02)，消去参数，得点P轨迹的直角坐标方程为x2y24.(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为xy10.又由(1)知，点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线xy10的距离为，所以点P到直线l距离的最大值为2.曲线的参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的相互转化体现了函数与方程的紧密联
7、系和实际应用【例4】求方程4x2y216的参数方程 (1)设y4sin ，为参数；(2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数规范解答(1)把y4sin 代入方程，得到4x216sin216，于是4x21616sin216cos2.x2cos .由于参数的任意性，可取x2cos ，因此4x2y216的参数方程是(为参数)(2)设M(x，y)是曲线4x2y216上异于A的任一点，则k(x0)，将ykx4代入方程，得x(4k2)x8k0，易知A(0,4)也适合此方程另有一点所求的参数方程为(k为参数)和4将参数方程(t为参数)化为普通方程解由xt1得t(x1)，代入yt21，得y(x1)21，即为
8、所求普通方程1在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为(cos sin )2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为_解析由(cos sin )2得xy2.方法一：由得y28x，联立得即交点坐标为(2，4)方法二：把代入xy20得t22t20，解得t，即交点坐标为(2，4)答案(2，4)2在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|_.解析由(sin 3cos )0，得sin 3co
9、s ，则y3x.由得y2x24.由可得或不妨设A，则B，故|AB|2.答案23已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 24，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_解析由得xy20，则cos sin 20.由2cos 24得2cos2 2sin24.cos 2，sin 0.，2.直线l与曲线C的交点的极坐标为A(2，)答案(2，)4在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，
10、求l的斜率解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110.(2)(方法1)由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得yxtan .设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kxy0.由圆C的方程(x6)2y225知，圆心坐标为(6,0)，半径为5.又|AB|，由垂径定理及点到直线的距离公式得，即，整理得k2，解得k，即l的斜率为.(方法2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110，于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率为或.5(2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解(1)因为11，且x2221，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，)C上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.- 10 - 版权所有高考资源网
