1、第 6 讲 双曲线第八章 平面解析几何1双曲线的定义条件结论 1结论 2平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F1，F2 M 点的轨迹为双曲线 _为双曲线的焦点|MF1|MF2|2a_为双曲线的焦距 2a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为6，则双曲线 C 的离心率为()A2 或 3B2 33C2 或2 33D2B 解析 由题意知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax，所以batan6 33，所以 a 3b，c a2b22b，故双曲线 C 的离心率 eca 2b3b2 33.4.教材习题改编 与椭圆x249y2241 有相同焦点且离心率为54的双曲线的标准方程为_解析
2、 椭圆x249y2241 的焦点为(5，0)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则 c5，ca54，所以 a4，b2c2a225169，所以所求双曲线的标准方程为x216y291.x216y2915.教材习题改编 经过点 A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_解析 设双曲线的方程为x2a2y2a21(a0)，把点 A(3，1)代入，得 a28，故所求方程为x28 y281.x28 y281 双曲线的定义典例引领(1)设双曲线 x2y281 的两个焦点为 F1，F2，P 是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|34，则PF1F2 的面积等于()A10 3 B8 3C8
3、5D16 5C(2)(2017云南省第一次统一检测)已知 F1、F2 是双曲线 M：y24x2m21 的焦点，y2 55 x 是双曲线 M 的一条渐近线，离心率等于34的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同，P 是椭圆 E 与双曲线 M的一个公共点，则|PF1|PF2|_12【解析】(1)依题意|F1F2|6，|PF2|PF1|2，因为|PF1|PF2|34，所以|PF1|6，|PF2|8，所以等腰三角形 PF1F2 的面积 S128628228 5.(2)由题意易得，双曲线的方程为y24x25 1，椭圆的方程为x27 y2161，不妨设|PF1|PF2|，从而可知|PF1|PF2|8，|PF1
4、|PF2|4|PF1|6，|PF2|2|PF1|PF2|12.若本例(1)中“|PF1|PF2|34”改为“PF1PF2”，其他条件不变，如何求解解 设|PF1|m，|PF2|n，则m2n236，m2n22mn4，解得 mn16，所以 SPF1F212mn8.(1)在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支若是双曲线的一支，则需确定是哪一支(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点另外，还经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系 通关练习1已知 F1，F2 为双曲线 C：x2y21 的
5、左、右焦点，点 P在 C 上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2 B4C6 D8B 解析 由双曲线的方程得 a1，c 2，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2.在PF1F2 中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即(2 2)2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|.解得|PF1|PF2|4.故选 B.2已知圆 C：(x3)2y24，定点 A(3，0)，则过定点 A且和圆 C 外切的动圆圆心 M 的轨迹方程为_解析 设动圆 M 的半径为 R，则|MC|2R，|MA|
6、R，所以|MC|MA|2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以 A，C 为焦点的双曲线的左支，且 a1，c3，所以 b28，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2y281(x1)x2y281(x1)双曲线的标准方程典例引领(1)(2016高考天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2xy0 垂直，则双曲线的方程为()Ax24 y21 Bx2y241C3x220 3y25 1 D3x25 3y2201(2)设双曲线与椭圆x227y2361 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是_Ay24x25 1【解
7、析】(1)由题意得 c 5，ba12，则 a2，b1，所以双曲线的方程为x24 y21.(2)法一：椭圆x227y2361 的焦点坐标是(0，3)，设双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)，根 据 双 曲 线 的 定 义 知 2a|（150）2（43）2（150）2（43）2|4，故 a2.又 b232225，故所求双曲线的标准方程为y24x25 1.法二：椭圆x227y2361 的焦点坐标是(0，3)设双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则 a2b29，又点(15，4)在双曲线上，所以16a215b21，联立解得 a24，b25.故所求双曲线的标准方程为y24x25 1.法三
8、：设双曲线的方程为x227y2361(270，b0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2y2b2(0，a0，b0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值 分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为 12，离心率为54；(2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)解(1)设双曲线的标准方程为 x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)由题意知，2b12，eca54，所以 b6，c10，a8.所以双曲线的标准方程为x264y2361 或y264x2361.(2)因为双曲线经过点 M(0，12)，所以 M(0，12)为双曲
9、线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26，所以 c13.所以 b2c2a225.所以双曲线的标准方程为 y2144x2251.双曲线的几何性质(高频考点)双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为容易题或中档题 高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)求双曲线的离心率(或范围)；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)由双曲线的性质求方程典例引领(1)(2016高考山东卷)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离
10、心率是_(2)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点 F 作圆 O：x2y2a2 的两条切线，切点为 A，B，双曲线左顶点为 C，若ACB120，则双曲线的渐近线方程为_2y 3x【解析】(1)如图，不妨设|AB|3，则|BC|2，双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，则 AB 的中点为 F1，故|DF1|52，|DF2|32，根据双曲线的定义知 2a1，又 2c2，所以该双曲线的离心率为2c2a2.(2)如图所示，连接 OA，OB，设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 2c(c0)，则 C(a，0)，F(c，0)由双曲线和圆的对称性知，点 A与点 B关于 x轴对称，则A
11、COBCO12ACB1212060.因为|OA|OC|a，所以ACO 为等边三角形，所以AOC60.因为 FA 与圆 O 切于点 A，所以 OAFA，在 RtAOF 中，AFO90AOF906030，所以|OF|2|OA|，即 c2a，所以 b c2a2（2a）2a2 3a，故双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax，即 y 3x.与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)依据题设条件，将问题转化为关于 a，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中 a，b的值或 a 与 b 的比值，进而得
12、出双曲线的渐近线方程(3)求双曲线方程依据题设条件，求出 a，b 的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长依题设条件及 a，b，c之间的关系求解 题点通关角度一 求双曲线的离心率(或范围)1(2015高考全国卷)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E的离心率为()A 5 B2C 3D 2D 解析 不妨取点 M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，所以 M 点的坐标为(2a，3a)因为 M 点在双曲线上，所以
13、4a2a2 3a2b2 1，ab，所以 c 2a，eca 2.故选 D.角度二 求双曲线的渐近线方程2若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为()Ay 2xBy2xCy12xDy 22 xA 解析 由于双曲线x2a2y2b21 的离心率为 3，故 e2c2a2a2b2a21b2a23，所以ba 2，故其渐近线方程为 y 2x，选 A.角度三 由双曲线的性质求方程3已知双曲线的渐近线方程为 y12x，且经过点 A(2，3)，则双曲线的标准方程为()Ax28 y2321 By28x2321Cx274y271 Dx27 y2741B 解析 若焦点在 x 轴上，设所求双
14、曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，因为双曲线的渐近线方程为 y12x，所以ba12.因为 A(2，3)在双曲线上，所以 4a2 9b21.联立，无解 若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，因为双曲线的渐近线方程为 y12x，所以ab12.因为 A(2，3)在双曲线上，所以 9a2 4b21.联立，解得 a28，b232.所以所求双曲线的标准方程为y28x2321.方程思想在求离心率中的应用(2017沈阳四校联考)设双曲线x2a2y2b21(0ab)的半焦距为 c，直线 l 过(a，0)、(0，b)两点已知原点到直线 l 的距离为 34 c
15、，则双曲线的离心率为_2【解析】由已知，得直线 l 的方程为 aybxab0，因为原点到直线 l 的距离为 34 c，所以aba2b2 34 c，又 c2a2b2，所以 4ab 3c2，两边平方，得 16a2b23c4，即 16a2(c2a2)3c4，两边同除以 a4，并整理，得 3e416e2160，所以 e24 或 e243.由 0a2，所以 e24.故 e2.(1)本题利用方程思想，将已知条件转化为关于a，c 的方程，然后求出离心率 e.(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于 a，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于 e 的方程或不等式求解 已知点 F 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是()A(1，)B(1，2)C(2，1 2)D(1，1 2)B 解析 若ABE 是锐角三角形，只需AEF45，在 RtAFE 中，|AF|b2a，|FE|ac，则b2a acb20e2e201e1，则 1e2，故选B.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
