1、第3课时充分条件和必要条件(2) 教学过程一、 问题情境对于“命题p是q成立的充要条件”和“命题p成立的充要条件是q”,充分性、必要性分别指的是什么?二、 数学建构1.充要条件如果既有pq,又有qp,就记作pq.我们就说,p和q互为充要条件.(1) 符号“”叫做等价符号,“pq”表示“pq且pq”,也表示“p 等价于q”; (2) “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“命题”反映了命题的条件与结论之间的因果关系,所以在判断时应注意:(1) 确定条件是什么,结论是什么;(2) 尝试从条件推出结论,从结论推出条件(方
2、法有直接证法或间接证法);(3) 确定条件是结论的什么条件;(4) 充要性包含:充分性pq,必要性qp,这两个方面,缺一不可.三、 数学运用【例1】若M是N的充分不必要条件,N是P的充要条件,Q是P的必要不充分条件,则M是Q的什么条件?(见学生用书P5)处理建议引导学生用推导符号先表示出它们的关系.规范板书解由题意可知MNPQ,显然M是Q的充分不必要条件.题后反思命题的充分必要性具有传递性.【例2】若不等式|x-a|2成立的充分不必要条件是1x3,求实数a的取值范围.(见学生用书P6)处理建议先求出|x-a|2的解集,再由其解集与x|1x3之间的关系求出参数a的取值范围.规范板书解由|x-a|
3、2,得a-2xa+2.由题意得(等号不能同时成立),解得1a3.因此,实数a的取值范围是1, 3.题后反思给定两个条件p,q,集合A=x|x满足条件p,B=x|x满足条件q.若p为q的充分条件,q为p的必要条件,则AB;若q为p的充分条件,p为q的必要条件,则BA.【例3】求证:实系数一元二次方程x2+px+q=0有两个异号实根的充要条件是q0.(见学生用书P6)处理建议要区分清楚“必要性”“充分性”各应证明什么命题,分清两种情况下的条件和结论各是什么.规范板书证明充分性:因为q0,所以方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,设其为x1,x2.因为x1x2=q0,所以方程x2+px+q=0有
4、两个异号实根.必要性:因为方程x2+px+q=0有两个异号实根,设其为x1,x2,所以x1x20.因为x1x2=q,所以q0.由,原命题得证.题后反思证明充要条件,实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明:(1)原命题和否命题都成立;(2)逆否命题和逆命题都成立;(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想,就能使思路更广阔,方法更灵活,复杂问题简单化.*【例4】求证:对于任意的x,yR,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.处理建议要证明必要不充分条件,就是要证明两个方面,一个是必要条件,另一个是不充分条件.结合上题引导学生证明不充分性.规范板书证明必要性:对于任意
5、的x,yR,如果x2+y2=0,那么x=0,y=0,即xy=0.故“xy=0”是“x2+y2=0”的必要条件.不充分性:对于任意的x,yR,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y20,故“xy=0”不是“x2+y2=0”的充分条件.综上,对于任意的x,yR,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.题后反思(1) 判断p是q的什么条件,常用的方法是验证由p能否推出q,由q能否推出p,对于否定性命题,注意利用等价命题来判断.(2) 证明充要条件时,既要证明充分性,又要证明必要性,即证明原命题和逆命题都成立,但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立.“A的充要条件为B”的命题的
6、证明:AB证明了必要性;BA证明了充分性.“A是B的充要条件”的命题的证明:AB证明了充分性;BA证明了必要性.四、 课堂练习1. “xy0”是“|x+y|=|x|+|y|”的充要条件.2. “AB=A”是“A=B”的必要不充分条件.3. 已知p:x+y-2,q:x,y不都是-1,那么p是q的充分不必要条件.4.求证:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.证明充分性:若b=0,则f(x)=ax2+c,所以f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),故f(x)为偶函数;必要性:若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),即ax2+bx+c=a(-x)2-bx+c对任意的xR恒成立,所以b=0.综上,函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.五、 课堂小结1.“充要条件”的判定方法.2.理解充要条件的含义并解决有关问题.
