1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.4.2微积分基本定理学 习 目 标核 心 素 养1理解并掌握微积分基本定理(重点、易混点)2能用微积分基本定理求定积分(难点)3能用定积分解决有关的问题1通过微积分基本定理的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养.2借助定理求定积分和利用定积分求参数，提升学生的数学运算素养.微积分基本定理1F(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差2如果F(x)f(x)，且f(x)在a，b上可积，则f(x)dxF(b)F(a)其中F(x)叫做f(x)的一个原函数由于F(x)cf(x)，F(x)c也是f(x)的原函数，其中c为常数一般地，原函数在a，b上的改变量F(
2、b)F(a)简记作F(x).因此，微积分基本定理可以写成形式：f(x)dxF(x)F(b)F(a)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数()答案(1)(2)(3)2若a(x2)dx，则被积函数的原函数为()Af(x)x2Bf(x)x2CCf(x)x22xCDf(x)x22x解析由微积分基本定理知，f(x)x2，x2，选C.答案C利用微积分基本定理求定积分【例1】(1)定积分(2
3、xex)dx的值为()Ae2Be1CeDe1(2)求下列定积分(x22x3)dx；sin2dx.解析(1)(2xex)dx(x2ex)(12e)(02e0)1e1e.答案C(2)(x22x3)dxx2dx2xdx3dxx23x.sin2，而cos xsin2，sin2dx.求简单的定积分关键注意两点1掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解2精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限1(1)若(kx1)dx2，则k的值为()A1 B2 C3 D4(2)dx_.解析(1)(kx1)dxk12，k2.(2)dxdx(ln 11)l
4、n 2.答案(1)B(2)ln 2求分段函数的定积分【例2】计算下列定积分(1)f(x)求f(x)dx；(2)|x21|dx.思路探究(1)按f(x)的分段标准，分成，(2,4三段求定积分，再求和(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分解(1)f(x)dxsin xdx1dx (x1)dx(cos x)x1(40)7.(2)|x21|dx(1x2)dx(x21)dx2.1本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解2分段函数在区间a，b上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行3带绝对值号的解析式，可先化为分段
5、函数，然后求解2计算定积分： (|2x3|32x|)dx.解设f(x)|2x3|32x|，x3,3，则f(x)利用定积分求参数探究问题1满足F(x)f(x)的函数F(x)唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值2如何求对称区间上的定积分？提示：在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便【例3】已知f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且f(x)dx1，求f(x)的解析式思路探究设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解解设f(x)kxb(k0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以kb4.又f(x)dx(kxb)dxb，所以b1
6、由得k6，b2，所以f(x)6x2.1含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提2计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念上例中，若把“已知f(x)是一次函数”改为“已知f(x)ax2bx(a0)”，其余条件不变，求f(x)的解析式解函数的图象过点(1,4)，ab4，又f(x)dx(ax2bx)dx，1，由得a6，b2，所以f(x)6x22x.1下列值等于1的是()A.xdxB.(x1)dxC.1dx D.dx解析选项A，因为x，所以xdx；选项B，因为x1，所以(x1)dx；选项C，因为x1，所以1dxx1；选项D，因为，所以dxx.答案C2 (sin xcos x)dx的值是()A0B. C2D4解析 (sin xcos x)dxsin xdx 答案C3计算x2dx_.解析由于x2，所以x2dxx3.答案4.(1)dx等于_解析(1)dx(x)dx45.答案455已知f(x)axb，且f2(x)dx1，求f(a)的取值范围解由f(x)axb，f2(x)dx1，得2a26b23,2a236b20，所以b，所以f(a)a2b3b2b3，所以f(a).- 8 - 版权所有高考资源网
