1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.3.2利用导数研究函数的极值学 习 目 标核 心 素 养1理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件(易混点)2会求函数的极值(重点)3会求函数在闭区间上的最值4能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题(难点)1通过学习函数的极值、极值点、最值等概念，培养学生的数学抽象素养2借助利用导数求函数的极值、最值，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.一、极值点和极值的概念名称定义表示法极值极大值已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值记作y极小f(x0)极值点极大值点
2、与极小值点统称为极值点二、函数f(x)在闭区间a，b上的最值假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b一定能够取得最大值与最小值，若函数在a，b内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x3ax2x1必有2个极值()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)有极值()答案(1)(2)(3)2函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值B有极值C有最大值 D有最小值解析f(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值答案A3下列说法正确
3、的是_(填序号)函数的最大值一定是函数的极大值；开区间上的单调连续函数无最值；函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得答案求函数的极值【例1】求下列函数的极值(1)f(x)x22x1；(2)f(x)x36；(3)f(x)|x|.解(1)f(x)2x2，令f(x)0，解得x1因为当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以函数在x1处有极小值，且y极小2.(2)f(x)x32x2xx(x22x1)x(x1)2.令f(x)0，解得x10，x21所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,1)1(1，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增无极值单调递
4、增所以当x0时，函数取得极小值，且y极小6.(3)f(x)|x|显然函数f(x)|x|在x0处不可导，当x0时，f(x)x10，函数f(x)|x|在(0，)内单调递增；当x0时，f(x)(x)10，函数f(x)|x|在(，0)内单调递减故当x0时，函数取得极小值，且y极小0.1讨论函数的性质要注意定义域优先的原则2极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：f(x0)0；点x0两侧f(x)的符号不同(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x0点)，也可能不是极值点(如y，在x0处不可
5、导，在x0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f(x)0的根，也可能是不可导点1已知函数f(x)x22ln x，则f(x)的极小值是_解析f(x)2x，且函数定义域为(0，)，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f(x)0，当x1时，函数有极小值，极小值为f(1)1答案1利用函数的极值求参数【例2】已知f(x)x3ax2bxc在x1与x时都取得极值(1)求a，b的值；(2)若f(1)，求f(x)的单调区间和极值思路探究(1)求导函数f(x)，则由x1和x是f(x)0的两根及根与系数的关系求出a，b.(2)由f(1)求出c，再列表求解解(1)f(x)3x22axb，令f(x
6、)0，由题设知x1与x为f(x)0的解a，b2.(2)由(1)知f(x)x3x22xc，由f(1)12c，得c1f(x)x3x22x1f(x)3x2x2.令f(x)0，得x或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增f(x)的递增区间为和(1，)，递减区间为.当x时，f(x)有极大值为f；当x1时，f(x)有极小值为f(1).已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求
7、解后必须验证根的合理性2已知函数f(x)x3(m3)x2(m6)x(xR，m为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围解f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以导数f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示所以解得m3.故实数m的取值范围是(3，)求函数的最值探究问题如图为yf(x)，xa，b的图象1观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为
8、多少？提示：存在f(x)的最小值为f(a)，f(x)的最大值为f(x3)3函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是其极值吗？提示：不一定也可能是区间端点的函数值【例3】(1)函数yx44x3在区间2,3上的最小值为()A72B36C12 D0(2)函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1e B1Ce D0(3)求函数f(x)x42x23，x3,2的最值解析(1)因为yx44x3，所以y4x34，令y0，解得x1当x1时，y1时，y0，函数单调递增，所以函数yx44x3在x1处取得极小值0.而当x2时，y27，当x3时，y72，所以当x1时，函数yx44x3取得最小值0，故选
9、D.(2)f(x)1，令f(x)0，得x1当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，e)时，f(x)0，当x1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)1，故选B.答案(1)D(2)B(3)f(x)4x34x4x(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，x0，x1当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60单调递增极大值4单调递减极小值3单调递增极大值4单调递减5当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.求函数最值的四个步骤第一步，求函数的定义域；第二步，求f(x)，解方程f(x)0
10、；第三步，列出关于x，f(x)，f(x)的变化表；第四步，求极值、端点值，确定最值3已知函数f(x)x33x2m(x2,2)，f(x)的最小值为1，则m_.解析f(x)3x26x，x2,2令f(x)0，得x0或x2，当x(2,0)时，f(x)0，当x0时，f(x)有极小值，也是最小值f(0)m1答案11函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()A1个 B2个C3个D4个解析依题意，记函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当axx1时，f(x)0；当x1xx2时，
11、f(x)0；当x2xx4时，f(x)0；当x4xb时，f(x)0.因此，函数f(x)分别在xx1，xx4处取得极大值，选B.答案B2函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值解析由y3x26x90，得x1或x3.当x1或x3时，y0；由1x3时，y0.当x1时，函数有极大值5；3(2,2)，故无极小值答案C3设aR，若函数yexax(xR)有大于零的极值点，则a的取值范围为_解析yexax，yexa，令yexa0，则exa，即xln(a)，又x0，a1，即a1答案a14函数y在0,2上的最大值为_解析y，令y0，得x10,2f(1)，f(0)0，f(2).f(x)最大值f(1).答案5已知a为实数，f(x)(x24)(xa)(1)求导数f(x)；(2)若f(1)0，求f(x)在2,2上的最大值和最小值解(1)由原式得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.(2)由f(1)0，得a，此时有f(x)(x24)，f(x)3x2x4.由f(x)0，得x或x1又f，f(1)，f(2)0，f(2)0，f(x)在2,2上的最大值为，最小值为.- 10 - 版权所有高考资源网
